MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbicc2 12285
Description: The lower bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lbicc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lbicc2
StepHypRef Expression
1 simp1 1060 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrleid 11980 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
323ad2ant1 1081 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
4 simp3 1062 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
5 elicc1 12216 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴𝐵)))
653adant3 1080 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴𝐵)))
71, 3, 4, 6mpbir3and 1244 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1037  wcel 1989   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  *cxr 10070  cle 10072  [,]cicc 12175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-icc 12179
This theorem is referenced by:  icccmplem1  22619  reconnlem2  22624  oprpiece1res1  22744  pcoass  22818  ivthlem1  23214  ivth2  23218  ivthle  23219  ivthle2  23220  evthicc  23222  ovolicc2lem5  23283  dyadmaxlem  23359  rolle  23747  cmvth  23748  mvth  23749  dvlip  23750  c1liplem1  23753  dveq0  23757  dvgt0lem1  23759  lhop1lem  23770  dvcnvrelem1  23774  dvcvx  23777  dvfsumle  23778  dvfsumge  23779  dvfsumabs  23780  dvfsumlem2  23784  ftc2  23801  ftc2ditglem  23802  itgparts  23804  itgsubstlem  23805  taylfval  24107  tayl0  24110  efcvx  24197  pige3  24263  logccv  24403  loglesqrt  24493  eliccioo  29624  ftc2re  30661  cvmliftlem6  31257  cvmliftlem8  31259  cvmliftlem9  31260  cvmliftlem10  31261  cvmliftlem13  31263  ivthALT  32314  ftc2nc  33474  areacirc  33485  itgpowd  37626  iccintsng  39558  icccncfext  39869  cncfiooicclem1  39875  dvbdfbdioolem1  39912  itgsin0pilem1  39934  itgcoscmulx  39954  itgsincmulx  39959  fourierdlem20  40113  fourierdlem51  40143  fourierdlem54  40146  fourierdlem64  40156  fourierdlem73  40165  fourierdlem81  40173  fourierdlem102  40194  fourierdlem103  40195  fourierdlem104  40196  fourierdlem114  40206  etransclem46  40266  hoidmv1lelem1  40574
  Copyright terms: Public domain W3C validator