Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvaddval 33884
Description: The value of the value of vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvaddval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvaddval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvaddval.a + = (+g𝑅)
ldualvaddval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddval.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddval.p = (+g𝐷)
ldualvaddval.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddval.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvaddval.h (𝜑𝐻𝐹)
ldualvaddval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvaddval (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))

Proof of Theorem ldualvaddval
StepHypRef Expression
1 ldualvaddval.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 ldualvaddval.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3 ldualvaddval.a . . . 4 + = (+g𝑅)
4 ldualvaddval.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5 ldualvaddval.p . . . 4 = (+g𝐷)
6 ldualvaddval.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 ldualvaddval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
8 ldualvaddval.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ldualvadd 33882 . . 3 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺𝑓 + 𝐻))
109fveq1d 6152 . 2 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑓 + 𝐻)‘𝑋))
11 ldualvaddval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
12 eqid 2626 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 ldualvaddval.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
142, 12, 13, 1lflf 33816 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
15 ffn 6004 . . . . . 6 (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅) → 𝐺 Fn 𝑉)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
176, 7, 16syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
182, 12, 13, 1lflf 33816 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:𝑉⟶(Base‘𝑅))
19 ffn 6004 . . . . . 6 (𝐻:𝑉⟶(Base‘𝑅) → 𝐻 Fn 𝑉)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻 Fn 𝑉)
216, 8, 20syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝐻 Fn 𝑉)
22 fvex 6160 . . . . . 6 (Base‘𝑊) ∈ V
2313, 22eqeltri 2700 . . . . 5 𝑉 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ V)
25 inidm 3805 . . . 4 (𝑉𝑉) = 𝑉
26 eqidd 2627 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) = (𝐺𝑋))
27 eqidd 2627 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝐻𝑋) = (𝐻𝑋))
2817, 21, 24, 24, 25, 26, 27ofval 6860 . . 3 ((𝜑𝑋𝑉) → ((𝐺𝑓 + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))
2911, 28mpdan 701 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))
3010, 29eqtrd 2660 1 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑓 cof 6849  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  Scalarcsca 15860  LModclmod 18779  LFnlclfn 33810  LDualcld 33876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-lfl 33811  df-ldual 33877
This theorem is referenced by:  ldualvsubval  33910  lkrin  33917  lcdvaddval  36353
  Copyright terms: Public domain W3C validator