Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvaddval 34736
Description: The value of the value of vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvaddval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvaddval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvaddval.a + = (+g𝑅)
ldualvaddval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddval.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddval.p = (+g𝐷)
ldualvaddval.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddval.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvaddval.h (𝜑𝐻𝐹)
ldualvaddval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvaddval (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))

Proof of Theorem ldualvaddval
StepHypRef Expression
1 ldualvaddval.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 ldualvaddval.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3 ldualvaddval.a . . . 4 + = (+g𝑅)
4 ldualvaddval.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5 ldualvaddval.p . . . 4 = (+g𝐷)
6 ldualvaddval.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 ldualvaddval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
8 ldualvaddval.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ldualvadd 34734 . . 3 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺𝑓 + 𝐻))
109fveq1d 6231 . 2 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑓 + 𝐻)‘𝑋))
11 ldualvaddval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
12 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 ldualvaddval.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
142, 12, 13, 1lflf 34668 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
15 ffn 6083 . . . . . 6 (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅) → 𝐺 Fn 𝑉)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
176, 7, 16syl2anc 694 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
182, 12, 13, 1lflf 34668 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:𝑉⟶(Base‘𝑅))
19 ffn 6083 . . . . . 6 (𝐻:𝑉⟶(Base‘𝑅) → 𝐻 Fn 𝑉)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻 Fn 𝑉)
216, 8, 20syl2anc 694 . . . 4 (𝜑𝐻 Fn 𝑉)
22 fvex 6239 . . . . . 6 (Base‘𝑊) ∈ V
2313, 22eqeltri 2726 . . . . 5 𝑉 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ V)
25 inidm 3855 . . . 4 (𝑉𝑉) = 𝑉
26 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) = (𝐺𝑋))
27 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝐻𝑋) = (𝐻𝑋))
2817, 21, 24, 24, 25, 26, 27ofval 6948 . . 3 ((𝜑𝑋𝑉) → ((𝐺𝑓 + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))
2911, 28mpdan 703 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 + 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))
3010, 29eqtrd 2685 1 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) + (𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991  LModclmod 18911  LFnlclfn 34662  LDualcld 34728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-lfl 34663  df-ldual 34729
This theorem is referenced by:  ldualvsubval  34762  lkrin  34769  lcdvaddval  37204
  Copyright terms: Public domain W3C validator