Theorem ldualvsdi2 36295

Description: Reverse distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsdi2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi2.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvsdi2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi2.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvsdi2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsdi2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
ldualvsdi2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsdi2	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))

Proof of Theorem ldualvsdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsdi2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvsdi2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvsdi2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2821	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvsdi2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvsdi2.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsdi2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvsdi2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvsdi2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
11		ldualvsdi2.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12	3, 4, 11	lmodacl 19645	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
13	8, 9, 10, 12	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
14		ldualvsdi2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14	ldualvs 36288	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {(𝑋 + 𝑌)})))
16	2, 3, 4, 11, 5, 1, 8, 9, 10, 14	lflvsdi2a 36231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
17		ldualvsdi2.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
18	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 14	ldualvscl 36290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
19	1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 14	ldualvscl 36290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) ∈ 𝐹)
20	1, 3, 11, 6, 17, 8, 18, 19	ldualvadd 36280	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f + (𝑌 · 𝐺)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14	ldualvs 36288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14	ldualvs 36288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌})))
23	21, 22	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f + (𝑌 · 𝐺)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
24	20, 23	eqtr2d 2857	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑌}))) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))
25	15, 16, 24	3eqtrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝐺) = ((𝑋 · 𝐺) ✚ (𝑌 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {csn 4567   × cxp 5553  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  ._rcmulr 16566  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  LModclmod 19634  LFnlclfn 36208  LDualcld 36274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-mgp 19240  df-ring 19299  df-lmod 19636  df-lfl 36209  df-ldual 36275

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  36303