Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lduallmodlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lduallmodlem 34942
Description: Lemma for lduallmod 34943. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lduallmod.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallmod.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lduallmod.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lduallmod.p + = ∘𝑓 (+g𝑊)
lduallmod.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lduallmod.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lduallmod.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
lduallmod.t × = (.r𝑅)
lduallmod.o 𝑂 = (oppr𝑅)
lduallmod.s · = ( ·𝑠𝐷)
Assertion
Ref Expression
lduallmodlem (𝜑𝐷 ∈ LMod)

Proof of Theorem lduallmodlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lduallmod.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 lduallmod.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4 lduallmod.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
51, 2, 3, 4ldualvbase 34916 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
65eqcomd 2766 . 2 (𝜑𝐹 = (Base‘𝐷))
7 eqidd 2761 . 2 (𝜑 → (+g𝐷) = (+g𝐷))
8 lduallmod.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9 lduallmod.o . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
10 eqid 2760 . . . 4 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
118, 9, 2, 10, 4ldualsca 34922 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = 𝑂)
1211eqcomd 2766 . 2 (𝜑𝑂 = (Scalar‘𝐷))
13 lduallmod.s . . 3 · = ( ·𝑠𝐷)
1413a1i 11 . 2 (𝜑· = ( ·𝑠𝐷))
15 lduallmod.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
169, 15opprbas 18829 . . 3 𝐾 = (Base‘𝑂)
1716a1i 11 . 2 (𝜑𝐾 = (Base‘𝑂))
18 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
199, 18oppradd 18830 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑂)
2019a1i 11 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑂))
2111fveq2d 6356 . 2 (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r𝑂))
22 eqid 2760 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
239, 22oppr1 18834 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑂)
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r𝑂))
258lmodring 19073 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
269opprring 18831 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
274, 25, 263syl 18 . 2 (𝜑𝑂 ∈ Ring)
282, 4ldualgrp 34936 . 2 (𝜑𝐷 ∈ Grp)
2943ad2ant1 1128 . . 3 ((𝜑𝑥𝐾𝑦𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
30 simp2 1132 . . 3 ((𝜑𝑥𝐾𝑦𝐹) → 𝑥𝐾)
31 simp3 1133 . . 3 ((𝜑𝑥𝐾𝑦𝐹) → 𝑦𝐹)
321, 8, 15, 2, 13, 29, 30, 31ldualvscl 34929 . 2 ((𝜑𝑥𝐾𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
33 eqid 2760 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
344adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
35 simpr1 1234 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑥𝐾)
36 simpr2 1236 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑦𝐹)
37 simpr3 1238 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑧𝐹)
381, 8, 15, 2, 33, 13, 34, 35, 36, 37ldualvsdi1 34933 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥 · (𝑦(+g𝐷)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝐷)(𝑥 · 𝑧)))
394adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
40 simpr1 1234 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → 𝑥𝐾)
41 simpr2 1236 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → 𝑦𝐾)
42 simpr3 1238 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → 𝑧𝐹)
431, 8, 18, 15, 2, 33, 13, 39, 40, 41, 42ldualvsdi2 34934 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝐷)(𝑦 · 𝑧)))
44 eqid 2760 . . 3 (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘(Scalar‘𝐷))
451, 8, 15, 2, 10, 44, 13, 39, 40, 41, 42ldualvsass2 34932 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝐷))𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
46 lduallmod.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
47 lduallmod.t . . . 4 × = (.r𝑅)
484adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
4915, 22ringidcl 18768 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
504, 25, 493syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
5150adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
52 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → 𝑥𝐹)
531, 46, 8, 15, 47, 2, 13, 48, 51, 52ldualvs 34927 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((1r𝑅) · 𝑥) = (𝑥𝑓 × (𝑉 × {(1r𝑅)})))
5446, 8, 1, 15, 47, 22, 48, 52lfl1sc 34874 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → (𝑥𝑓 × (𝑉 × {(1r𝑅)})) = 𝑥)
5553, 54eqtrd 2794 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → ((1r𝑅) · 𝑥) = 𝑥)
566, 7, 12, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 32, 38, 43, 45, 55islmodd 19071 1 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  {csn 4321   × cxp 5264  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144  Scalarcsca 16146   ·𝑠 cvsca 16147  1rcur 18701  Ringcrg 18747  opprcoppr 18822  LModclmod 19065  LFnlclfn 34847  LDualcld 34913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-lmod 19067  df-lfl 34848  df-ldual 34914
This theorem is referenced by:  lduallmod  34943
  Copyright terms: Public domain W3C validator