MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legid 25527
Description: Reflexivity of the less-than relationship. Proposition 5.7 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
Assertion
Ref Expression
legid (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))

Proof of Theorem legid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legid.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
2 legval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 legval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 legval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 legval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 legid.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
72, 3, 4, 5, 6, 1tgbtwntriv2 25427 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
8 eqidd 2652 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐵))
9 eleq1 2718 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
10 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝐵))
1110eqeq2d 2661 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 𝐵) = (𝐴 𝑥) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐵)))
129, 11anbi12d 747 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐵))))
1312rspcev 3340 . . 3 ((𝐵𝑃 ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐵))) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝑥)))
141, 7, 8, 13syl12anc 1364 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝑥)))
15 legval.l . . 3 = (≤G‘𝐺)
162, 3, 4, 15, 5, 6, 1, 6, 1legov 25525 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐴 𝑥))))
1714, 16mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  ≤Gcleg 25522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523
This theorem is referenced by:  legtrid  25531  legov3  25538
  Copyright terms: Public domain W3C validator