Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladd 33819
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 28742 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfladd.p = (+g𝐷)
lfladd.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd.a + = (+g𝑊)
lfladd.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lfladd ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋) (𝐺𝑌)))

Proof of Theorem lfladd
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1060 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐺𝐹)
3 lfladd.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2626 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5 eqid 2626 . . . . 5 (1r𝐷) = (1r𝐷)
63, 4, 5lmod1cl 18806 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
763ad2ant1 1080 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8 simp3l 1087 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
9 simp3r 1088 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
10 lfladd.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lfladd.a . . . 4 + = (+g𝑊)
12 eqid 2626 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
13 lfladd.p . . . 4 = (+g𝐷)
14 eqid 2626 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
15 lfladd.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
1610, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15lfli 33814 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ ((1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) (𝐺𝑌)))
171, 2, 7, 8, 9, 16syl113anc 1335 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) (𝐺𝑌)))
1810, 3, 12, 5lmodvs1 18807 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
191, 8, 18syl2anc 692 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
2019oveq1d 6620 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
2120fveq2d 6154 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)))
223lmodring 18787 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
23223ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
243, 4, 10, 15lflcl 33817 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
25243adant3r 1320 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
264, 14, 5ringlidm 18487 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (𝐺𝑋))
2723, 25, 26syl2anc 692 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (𝐺𝑋))
2827oveq1d 6620 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) (𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑋) (𝐺𝑌)))
2917, 21, 283eqtr3d 2668 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋) (𝐺𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  .rcmulr 15858  Scalarcsca 15860   ·𝑠 cvsca 15861  1rcur 18417  Ringcrg 18463  LModclmod 18779  LFnlclfn 33810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-lmod 18781  df-lfl 33811
This theorem is referenced by:  lfladdcl  33824  hdmaplna1  36665
  Copyright terms: Public domain W3C validator