Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl0 33829
Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 28747 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0.o 0 = (0g𝐷)
lfl0.z 𝑍 = (0g𝑊)
lfl0.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lfl0 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺𝑍) = 0 )

Proof of Theorem lfl0
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simpr 477 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺𝐹)
3 lfl0.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5 eqid 2621 . . . . . . 7 (1r𝐷) = (1r𝐷)
63, 4, 5lmod1cl 18811 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
76adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9 lfl0.z . . . . . . 7 𝑍 = (0g𝑊)
108, 9lmod0vcl 18813 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
12 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
13 eqid 2621 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
14 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝐷) = (+g𝐷)
15 eqid 2621 . . . . . 6 (.r𝐷) = (.r𝐷)
16 lfl0.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
178, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16lfli 33825 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ ((1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍)) = (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑍))(+g𝐷)(𝐺𝑍)))
181, 2, 7, 11, 11, 17syl113anc 1335 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍)) = (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑍))(+g𝐷)(𝐺𝑍)))
198, 3, 13, 4lmodvscl 18801 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
201, 7, 11, 19syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
218, 12, 9lmod0vrid 18815 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊)) → (((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍) = ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍))
2220, 21syldan 487 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍) = ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍))
238, 3, 13, 5lmodvs1 18812 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍) = 𝑍)
2411, 23syldan 487 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍) = 𝑍)
2522, 24eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍) = 𝑍)
2625fveq2d 6152 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍)) = (𝐺𝑍))
273lmodring 18792 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐷 ∈ Ring)
293, 4, 8, 16lflcl 33828 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
3011, 29mpd3an3 1422 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
314, 15, 5ringlidm 18492 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑍)) = (𝐺𝑍))
3228, 30, 31syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑍)) = (𝐺𝑍))
3332oveq1d 6619 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑍))(+g𝐷)(𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑍)(+g𝐷)(𝐺𝑍)))
3418, 26, 333eqtr3d 2663 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺𝑍) = ((𝐺𝑍)(+g𝐷)(𝐺𝑍)))
3534oveq1d 6619 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐺𝑍)(-g𝐷)(𝐺𝑍)) = (((𝐺𝑍)(+g𝐷)(𝐺𝑍))(-g𝐷)(𝐺𝑍)))
36 ringgrp 18473 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
3728, 36syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐷 ∈ Grp)
38 lfl0.o . . . 4 0 = (0g𝐷)
39 eqid 2621 . . . 4 (-g𝐷) = (-g𝐷)
404, 38, 39grpsubid 17420 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑍)(-g𝐷)(𝐺𝑍)) = 0 )
4137, 30, 40syl2anc 692 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐺𝑍)(-g𝐷)(𝐺𝑍)) = 0 )
424, 14, 39grppncan 17427 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝐺𝑍)(+g𝐷)(𝐺𝑍))(-g𝐷)(𝐺𝑍)) = (𝐺𝑍))
4337, 30, 30, 42syl3anc 1323 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((𝐺𝑍)(+g𝐷)(𝐺𝑍))(-g𝐷)(𝐺𝑍)) = (𝐺𝑍))
4435, 41, 433eqtr3rd 2664 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺𝑍) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  -gcsg 17345  1rcur 18422  Ringcrg 18468  LModclmod 18784  LFnlclfn 33821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lfl 33822
This theorem is referenced by:  lflmul  33832  lkrlss  33859  dochkr1  36244  lcfrlem28  36336  hdmapip0  36684
  Copyright terms: Public domain W3C validator