Theorem lfl0 36216

Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 29819 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑊)
lfl0.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = 0 )

Proof of Theorem lfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lfl0.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
6	3, 4, 5	lmod1cl 19661	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
7	6	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		lfl0.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑊)
10	8, 9	lmod0vcl 19663	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
13		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
15		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
16		lfl0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
17	8, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16	lfli 36212	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
18	1, 2, 7, 11, 11, 17	syl113anc 1378	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
19	8, 3, 13, 4	lmodvscl 19651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
20	1, 7, 11, 19	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
21	8, 12, 9	lmod0vrid 19665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊)) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍))
22	20, 21	syldan 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍))
23	8, 3, 13, 5	lmodvs1 19662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
24	11, 23	syldan 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
25	22, 24	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
26	25	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
27	3	lmodring 19642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
28	27	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ Ring)
29	3, 4, 8, 16	lflcl 36215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
30	11, 29	mpd3an3 1458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
31	4, 15, 5	ringlidm 19321	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
32	28, 30, 31	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
33	32	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = ((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
34	18, 26, 33	3eqtr3d 2864	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = ((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
35	34	oveq1d 7171	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
36		ringgrp 19302	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
37	28, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ Grp)
38		lfl0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
39		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
40	4, 38, 39	grpsubid 18183	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = 0 )
41	37, 30, 40	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = 0 )
42	4, 14, 39	grppncan 18190	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
43	37, 30, 30, 42	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
44	35, 41, 43	3eqtr3rd 2865	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  ._rcmulr 16566  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  0_gc0g 16713  Grpcgrp 18103  -_gcsg 18105  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  LModclmod 19634  LFnlclfn 36208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-lmod 19636  df-lfl 36209

This theorem is referenced by:  lflmul  36219  lkrlss  36246  dochkr1  38629  lcfrlem28  38721  hdmapip0  39066