Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsc0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflsc0N 33871
 Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsc0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsc0.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsc0.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsc0.t · = (.r𝐷)
lflsc0.o 0 = (0g𝐷)
lflsc0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflsc0.x (𝜑𝑋𝐾)
Assertion
Ref Expression
lflsc0N (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lflsc0N
StepHypRef Expression
1 lflsc0.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 fvex 6160 . . . . 5 (Base‘𝑊) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . . 4 𝑉 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
5 lflsc0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lflsc0.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
76lmodring 18795 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Ring)
9 lflsc0.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
10 lflsc0.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
119, 10ring0cl 18493 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring → 0𝐾)
128, 11syl 17 . . 3 (𝜑0𝐾)
13 lflsc0.x . . 3 (𝜑𝑋𝐾)
144, 12, 13ofc12 6878 . 2 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × {( 0 · 𝑋)}))
15 lflsc0.t . . . . . 6 · = (.r𝐷)
169, 15, 10ringlz 18511 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
178, 13, 16syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = 0 )
1817sneqd 4162 . . 3 (𝜑 → {( 0 · 𝑋)} = { 0 })
1918xpeq2d 5101 . 2 (𝜑 → (𝑉 × {( 0 · 𝑋)}) = (𝑉 × { 0 }))
2014, 19eqtrd 2655 1 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  {csn 4150   × cxp 5074  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   ∘𝑓 cof 6851  Basecbs 15784  .rcmulr 15866  Scalarcsca 15868  0gc0g 16024  Ringcrg 18471  LModclmod 18787 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-mgp 18414  df-ring 18473  df-lmod 18789 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator