Theorem lhpmod6i1 37177

Description: Modular law for hyperplanes analogous to complement of atmod2i1 36999 for atoms. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmod.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmod6i1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊))

Proof of Theorem lhpmod6i1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1r 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		lhpmod.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	3, 4, 5	lhpocat 37155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8		hlop 36500	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
10		simp2l 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		lhpmod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12	11, 3	opoccl 36332	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14		simp2r 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	11, 3	opoccl 36332	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	9, 14, 15	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17		simp3 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑋 ≤ 𝑊)
18	11, 5	lhpbase 37136	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
19	2, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐵)
20		lhpmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21	11, 20, 3	oplecon3b 36338	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	9, 10, 19, 21	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑋 ≤ 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	17, 22	mpbid 234	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))
24		lhpmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
25		lhpmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
26	11, 20, 24, 25, 4	atmod2i1 36999	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
27	1, 7, 13, 16, 23, 26	syl131anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
28	1	hllatd 36502	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
29	11, 25	latmcl 17664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
30	28, 14, 19, 29	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
31	11, 24	latjcl 17663	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
32	28, 10, 30, 31	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
33	11, 24	latjcl 17663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
34	28, 10, 14, 33	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
35	11, 25	latmcl 17664	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
36	28, 34, 19, 35	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
37	11, 3	opcon3b 36334	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ↔ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)))))
38	9, 32, 36, 37	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ↔ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)))))
39		hlol 36499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40	1, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ OL)
41	11, 24, 25, 3	oldmm1 36355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
42	40, 34, 19, 41	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
43	11, 24, 25, 3	oldmj1 36359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
44	40, 10, 14, 43	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
45	44	oveq1d 7173	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
46	42, 45	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
47	11, 24, 25, 3	oldmj1 36359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ 𝑊))))
48	40, 10, 30, 47	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ 𝑊))))
49	11, 24, 25, 3	oldmm1 36355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
50	40, 14, 19, 49	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
51	50	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
52	48, 51	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
53	46, 52	eqeq12d 2839	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))) ↔ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))
54	38, 53	bitrd 281	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ↔ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))
55	27, 54	mpbird 259	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  lecple 16574  occoc 16575  joincjn 17556  meetcmee 17557  Latclat 17657  OPcops 36310  OLcol 36312  Atomscatm 36401  HLchlt 36488  LHypclh 37122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126

This theorem is referenced by:  lhple  37180  trlcolem  37864