Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmod2i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmod2i2 35845
Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 35669 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l = (le‘𝐾)
lhpmod.j = (join‘𝐾)
lhpmod.m = (meet‘𝐾)
lhpmod.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmod2i2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((𝑋 𝑊) 𝑌) = (𝑋 (𝑊 𝑌)))

Proof of Theorem lhpmod2i2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1240 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1241 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑊𝐻)
3 eqid 2760 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 eqid 2760 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5 lhpmod.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
63, 4, 5lhpocat 35824 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
71, 2, 6syl2anc 696 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8 hlop 35170 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
91, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
10 simp2l 1242 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑋𝐵)
11 lhpmod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1211, 3opoccl 35002 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
139, 10, 12syl2anc 696 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14 simp2r 1243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌𝐵)
1511, 3opoccl 35002 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
169, 14, 15syl2anc 696 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17 simp3 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌 𝑋)
18 lhpmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
1911, 18, 3oplecon3b 35008 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
209, 14, 10, 19syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2117, 20mpbid 222 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌))
22 lhpmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
23 lhpmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
2411, 18, 22, 23, 4atmod1i2 35666 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
251, 7, 13, 16, 21, 24syl131anc 1490 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
26 hllat 35171 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
271, 26syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
2811, 5lhpbase 35805 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
292, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑊𝐵)
3011, 23latmcl 17273 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
3127, 10, 29, 30syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
3211, 22latjcl 17272 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑊) 𝑌) ∈ 𝐵)
3327, 31, 14, 32syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((𝑋 𝑊) 𝑌) ∈ 𝐵)
3411, 22latjcl 17272 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊𝐵𝑌𝐵) → (𝑊 𝑌) ∈ 𝐵)
3527, 29, 14, 34syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑊 𝑌) ∈ 𝐵)
3611, 23latmcl 17273 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑊 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑊 𝑌)) ∈ 𝐵)
3727, 10, 35, 36syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋 (𝑊 𝑌)) ∈ 𝐵)
3811, 3opcon3b 35004 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑋 𝑊) 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 (𝑊 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑋 𝑊) 𝑌) = (𝑋 (𝑊 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌))))
399, 33, 37, 38syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((𝑋 𝑊) 𝑌) = (𝑋 (𝑊 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌))))
40 hlol 35169 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
411, 40syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ OL)
4211, 22, 23, 3oldmm1 35025 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑊 𝑌) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑊 𝑌))))
4341, 10, 35, 42syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑊 𝑌))))
4411, 22, 23, 3oldmj1 35029 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4541, 29, 14, 44syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4645oveq2d 6830 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑊 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
4743, 46eqtrd 2794 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
4811, 22, 23, 3oldmj1 35029 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4941, 31, 14, 48syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
5011, 22, 23, 3oldmm1 35025 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
5141, 10, 29, 50syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
5251oveq1d 6829 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
5349, 52eqtrd 2794 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
5447, 53eqeq12d 2775 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
5539, 54bitrd 268 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((𝑋 𝑊) 𝑌) = (𝑋 (𝑊 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
5625, 55mpbird 247 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((𝑋 𝑊) 𝑌) = (𝑋 (𝑊 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  occoc 16171  joincjn 17165  meetcmee 17166  Latclat 17266  OPcops 34980  OLcol 34982  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  LHypclh 35791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795
This theorem is referenced by:  cdleme30a  36186  trlcolem  36534
  Copyright terms: Public domain W3C validator