Theorem lindssn 30959

Description: Any singleton of a nonzero element is an independent set. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindssn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lindssn.2	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lindssn	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))

Proof of Theorem lindssn

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2		snssi 4734	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1129	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝐵)
4		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
5		eldifsni 4715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	6	neneqd 3020	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8		simpl3 1188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋 ≠ 0 )
9	8	neneqd 3020	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ 𝑋 = 0 )
10		ioran 980	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (¬ 𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 = 0 ))
11	7, 9, 10	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 ))
12		lindssn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
13		eqid 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15		eqid 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16		eqid 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
17		lindssn.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18	1	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
19	4	eldifad 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20		simpl2 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lvecvs0or 19873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 0 ↔ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
22	21	necon3abid 3051	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑦 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋 = 0 )))
23	11, 22	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 )
24		nelsn 4598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ { 0 })
26		difid 4323	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ({𝑋} ∖ {𝑋}) = ∅)
28	27	fveq2d 6667	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
29		lveclmod 19871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
30		eqid 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
31	17, 30	lsp0 19774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
32	1, 29, 31	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
33	32	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
34	28, 33	eqtrd 2855	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})) = { 0 })
35	25, 34	neleqtrrd 2934	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
36	35	ralrimiva 3181	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
37		oveq2 7157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))
38		sneq 4570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
39	38	difeq2d 4092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ({𝑋} ∖ {𝑥}) = ({𝑋} ∖ {𝑋}))
40	39	fveq2d 6667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) = ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋})))
41	37, 40	eleq12d 2906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
42	41	notbid 320	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
43	42	ralbidv 3196	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
44	43	ralsng 4606	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
45	44	3ad2ant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑋}))))
46	36, 45	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))
47	12, 13, 30, 14, 15, 16	islinds2 20950	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ({𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))))
48	47	biimpar 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘({𝑋} ∖ {𝑥})))) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))
49	1, 3, 46, 48	syl12anc 834	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → {𝑋} ∈ (LIndS‘𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∀wral 3137   ∖ cdif 3926   ⊆ wss 3929  ∅c0 4284  {csn 4560  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16476  Scalarcsca 16561   ·_𝑠 cvsca 16562  0_gc0g 16706  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736  LVecclvec 19867  LIndSclinds 20942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-tpos 7885  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-0g 16708  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-grp 18099  df-minusg 18100  df-sbg 18101  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19366  df-dvdsr 19384  df-unit 19385  df-invr 19415  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lindf 20943  df-linds 20944

This theorem is referenced by:  rgmoddim  31030  ccfldextdgrr  31079