MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvs0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvs0or 19231
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (hvmul0or 28112 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmul0or.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmul0or.s · = ( ·𝑠𝑊)
lvecmul0or.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmul0or.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmul0or.o 𝑂 = (0g𝐹)
lvecmul0or.z 0 = (0g𝑊)
lvecmul0or.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecmul0or.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecmul0or.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lvecvs0or (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem lvecvs0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2897 . . . . 5 (𝐴𝑂 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑂)
2 oveq2 6773 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr𝐹)‘𝐴) · 0 ))
32ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr𝐹)‘𝐴) · 0 ))
4 lvecmul0or.w . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
54adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝑊 ∈ LVec)
6 lvecmul0or.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
76lvecdrng 19228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝐹 ∈ DivRing)
9 lvecmul0or.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐾)
109adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝐴𝐾)
11 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝐴𝑂)
12 lvecmul0or.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Base‘𝐹)
13 lvecmul0or.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (0g𝐹)
14 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝐹) = (.r𝐹)
15 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝐹) = (1r𝐹)
16 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (invr𝐹) = (invr𝐹)
1712, 13, 14, 15, 16drnginvrl 18889 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
188, 10, 11, 17syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
1918oveq1d 6780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑂) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
20 lveclmod 19229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
214, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2221adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
2312, 13, 16drnginvrcl 18887 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴𝑂) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
248, 10, 11, 23syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑂) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
25 lvecmul0or.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
2625adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝑋𝑉)
27 lvecmul0or.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
28 lvecmul0or.s . . . . . . . . . . 11 · = ( ·𝑠𝑊)
2927, 6, 28, 12, 14lmodvsass 19011 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑋𝑉)) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
3022, 24, 10, 26, 29syl13anc 1441 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑂) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
3127, 6, 28, 15lmodvs1 19014 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3221, 25, 31syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3332adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑂) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3419, 30, 333eqtr3d 2766 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
3534adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
3621adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
3736adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
3824adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
39 lvecmul0or.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑊)
406, 28, 12, 39lmodvs0 19020 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾) → (((invr𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
4137, 38, 40syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
423, 35, 413eqtr3d 2766 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → 𝑋 = 0 )
4342ex 449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴𝑂𝑋 = 0 ))
441, 43syl5bir 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (¬ 𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 ))
4544orrd 392 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 ))
4645ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 )))
4727, 6, 28, 13, 39lmod0vs 19019 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
4821, 25, 47syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
49 oveq1 6772 . . . . 5 (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
5049eqeq1d 2726 . . . 4 (𝐴 = 𝑂 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝑂 · 𝑋) = 0 ))
5148, 50syl5ibrcom 237 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
526, 28, 12, 39lmodvs0 19020 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾) → (𝐴 · 0 ) = 0 )
5321, 9, 52syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 0 ) = 0 )
54 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 0 ))
5554eqeq1d 2726 . . . 4 (𝑋 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 · 0 ) = 0 ))
5653, 55syl5ibrcom 237 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
5751, 56jaod 394 . 2 (𝜑 → ((𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
5846, 57impbid 202 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  .rcmulr 16065  Scalarcsca 16067   ·𝑠 cvsca 16068  0gc0g 16223  1rcur 18622  invrcinvr 18792  DivRingcdr 18870  LModclmod 18986  LVecclvec 19225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-oppr 18744  df-dvdsr 18762  df-unit 18763  df-invr 18793  df-drng 18872  df-lmod 18988  df-lvec 19226
This theorem is referenced by:  lvecvsn0  19232  lvecvscan  19234  lvecvscan2  19235  lkreqN  34877  lkrlspeqN  34878  hdmap14lem6  37584  hgmapval0  37603
  Copyright terms: Public domain W3C validator