Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatcl 29656
 Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatcl.b 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmatcl.1 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2 𝑃 = (Base‘𝑂)
lmatcl.r (𝜑𝑅𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmatcl (𝜑𝑀𝑃)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . . 4 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 29653 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
51, 4syl5eq 2672 . . 3 (𝜑𝑀 = (𝑘 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6 lmatfval.1 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
76oveq2d 6621 . . . 4 (𝜑 → (1...(#‘𝑊)) = (1...𝑁))
8 lmatfval.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 lbfzo0 12445 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
108, 9sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
11 0nn0 11252 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
1413eleq1d 2688 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
1513fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
1615fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (#‘(𝑊𝑖)) = (#‘(𝑊‘0)))
1716eqeq1d 2628 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → ((#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
1814, 17imbi12d 334 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
19 lmatfval.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
2019ex 450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁))
2112, 18, 20vtocld 3248 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
2210, 21mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
2322oveq2d 6621 . . . 4 (𝜑 → (1...(#‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
24 eqidd 2627 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)))
257, 23, 24mpt2eq123dv 6671 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
265, 25eqtrd 2660 . 2 (𝜑𝑀 = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
27 lmatcl.1 . . 3 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
28 lmatcl.b . . 3 𝑉 = (Base‘𝑅)
29 lmatcl.2 . . 3 𝑃 = (Base‘𝑂)
30 fzfid 12709 . . 3 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
31 lmatcl.r . . 3 (𝜑𝑅𝑋)
3223ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
33 simp2 1060 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
34 fz1fzo0m1 12453 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3663ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (#‘𝑊) = 𝑁)
3736oveq2d 6621 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝑁))
3835, 37eleqtrrd 2707 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
39 wrdsymbcl 13252 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
4032, 38, 39syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
41 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
42 fz1fzo0m1 12453 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
44 ovex 6633 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 − 1) ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 − 1) ∈ V)
46 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → 𝑖 = (𝑘 − 1))
47 eqidd 2627 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
4846, 47eleq12d 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
4946fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝑘 − 1)))
5049fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (#‘(𝑊𝑖)) = (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))
5150eqeq1d 2628 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
5248, 51imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)))
5345, 52, 20vtocld 3248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
5453imp 445 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
5534, 54sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
56553adant3 1079 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
5756oveq2d 6621 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(#‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))) = (0..^𝑁))
5843, 57eleqtrrd 2707 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))))
59 wrdsymbcl 13252 . . . 4 (((𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
6040, 58, 59syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
6127, 28, 29, 30, 31, 60matbas2d 20143 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) ∈ 𝑃)
6226, 61eqeltrd 2704 1 (𝜑𝑀𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↦ cmpt2 6607  0cc0 9881  1c1 9882   − cmin 10211  ℕcn 10965  ℕ0cn0 11237  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225  Basecbs 15776   Mat cmat 20127  litMatclmat 29651 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-hom 15882  df-cco 15883  df-0g 16018  df-prds 16024  df-pws 16026  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-dsmm 19990  df-frlm 20005  df-mat 20128  df-lmat 29652 This theorem is referenced by:  lmat22det  29662
 Copyright terms: Public domain W3C validator