Theorem lmatfvlem 31080

Description: Useful lemma to extract literal matrix entries. Suggested by Mario Carneiro. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfvlem.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
lmatfvlem.2	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
lmatfvlem.3	⊢ 𝐼 ≤ 𝑁
lmatfvlem.4	⊢ 𝐽 ≤ 𝑁
lmatfvlem.5	⊢ (𝐾 + 1) = 𝐼
lmatfvlem.6	⊢ (𝐿 + 1) = 𝐽
lmatfvlem.7	⊢ (𝑊‘𝐾) = 𝑋
lmatfvlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lmatfvlem	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑖)   𝐿(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem lmatfvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lmatfval.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
4		lmatfval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5		lmatfval.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
6		lmatfvlem.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + 1) = 𝐼
7		lmatfvlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
8		nn0p1nn 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + 1) ∈ ℕ
10	6, 9	eqeltrri 2910	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
11		nnge1 11666	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 𝐼
13		lmatfvlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ≤ 𝑁
14	12, 13	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁))
16		nnz 12005	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
19		1z 12013	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
21	2	nnzd 12087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		elfz 12899	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)))
24	15, 23	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
25		lmatfvlem.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + 1) = 𝐽
26		lmatfvlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
27		nn0p1nn 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + 1) ∈ ℕ
29	25, 28	eqeltrri 2910	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
30		nnge1 11666	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 𝐽
32		lmatfvlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ≤ 𝑁
33	31, 32	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁))
35		nnz 12005	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
36	29, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ ℤ
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
38		elfz 12899	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
39	37, 20, 21, 38	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
40	34, 39	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
41	1, 2, 3, 4, 5, 24, 40	lmatfval 31079	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
42	7	nn0cni 11910	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
43		ax-1cn 10595	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
44	42, 43	pncan3oi 10902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾
45	6	oveq1i 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) − 1) = (𝐼 − 1)
46	44, 45	eqtr3i 2846	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐼 − 1)
47	46	fveq2i 6673	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝐾) = (𝑊‘(𝐼 − 1))
48		lmatfvlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝐾) = 𝑋
49	47, 48	eqtr3i 2846	. . . 4 ⊢ (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋)
51	50	fveq1d 6672	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
52	26	nn0cni 11910	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ ℂ
53	52, 43	pncan3oi 10902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 + 1) − 1) = 𝐿
54	25	oveq1i 7166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 + 1) − 1) = (𝐽 − 1)
55	53, 54	eqtr3i 2846	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐽 − 1)
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 − 1))
57	56	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
58		lmatfvlem.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = 𝑌)
59	57, 58	eqtr3d 2858	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐽 − 1)) = 𝑌)
60	41, 51, 59	3eqtrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862  litMatclmat 31076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-lmat 31077

This theorem is referenced by:  lmat22e12  31084  lmat22e21  31085  lmat22e22  31086