Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatfvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatfvlem 29655
 Description: Useful lemma to extract literal matrix entries. Suggested by Mario Carneiro. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatfvlem.1 𝐾 ∈ ℕ0
lmatfvlem.2 𝐿 ∈ ℕ0
lmatfvlem.3 𝐼𝑁
lmatfvlem.4 𝐽𝑁
lmatfvlem.5 (𝐾 + 1) = 𝐼
lmatfvlem.6 (𝐿 + 1) = 𝐽
lmatfvlem.7 (𝑊𝐾) = 𝑋
lmatfvlem.8 (𝜑 → (𝑋𝐿) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
lmatfvlem (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑖)   𝐿(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem lmatfvlem
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . 3 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lmatfval.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
4 lmatfval.1 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
5 lmatfval.2 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
6 lmatfvlem.5 . . . . . . . 8 (𝐾 + 1) = 𝐼
7 lmatfvlem.1 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℕ0
8 nn0p1nn 11277 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 + 1) ∈ ℕ
106, 9eqeltrri 2701 . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℕ
11 nnge1 10991 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ 𝐼
13 lmatfvlem.3 . . . . . 6 𝐼𝑁
1412, 13pm3.2i 471 . . . . 5 (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁))
16 nnz 11344 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
1710, 16ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ ℤ
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
19 1z 11352 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
212nnzd 11425 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
22 elfz 12271 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)))
2415, 23mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
25 lmatfvlem.6 . . . . . . . 8 (𝐿 + 1) = 𝐽
26 lmatfvlem.2 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ ℕ0
27 nn0p1nn 11277 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐿 + 1) ∈ ℕ
2925, 28eqeltrri 2701 . . . . . . 7 𝐽 ∈ ℕ
30 nnge1 10991 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ 𝐽
32 lmatfvlem.4 . . . . . 6 𝐽𝑁
3331, 32pm3.2i 471 . . . . 5 (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁))
35 nnz 11344 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
3629, 35ax-mp 5 . . . . . 6 𝐽 ∈ ℤ
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
38 elfz 12271 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)))
3937, 20, 21, 38syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)))
4034, 39mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
411, 2, 3, 4, 5, 24, 40lmatfval 29654 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
427nn0cni 11249 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℂ
43 ax-1cn 9939 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
4442, 43pncan3oi 10242 . . . . . . 7 ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾
456oveq1i 6615 . . . . . . 7 ((𝐾 + 1) − 1) = (𝐼 − 1)
4644, 45eqtr3i 2650 . . . . . 6 𝐾 = (𝐼 − 1)
4746fveq2i 6153 . . . . 5 (𝑊𝐾) = (𝑊‘(𝐼 − 1))
48 lmatfvlem.7 . . . . 5 (𝑊𝐾) = 𝑋
4947, 48eqtr3i 2650 . . . 4 (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋
5049a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋)
5150fveq1d 6152 . 2 (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
5226nn0cni 11249 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℂ
5352, 43pncan3oi 10242 . . . . . 6 ((𝐿 + 1) − 1) = 𝐿
5425oveq1i 6615 . . . . . 6 ((𝐿 + 1) − 1) = (𝐽 − 1)
5553, 54eqtr3i 2650 . . . . 5 𝐿 = (𝐽 − 1)
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐿 = (𝐽 − 1))
5756fveq2d 6154 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐿) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
58 lmatfvlem.8 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐿) = 𝑌)
5957, 58eqtr3d 2662 . 2 (𝜑 → (𝑋‘(𝐽 − 1)) = 𝑌)
6041, 51, 593eqtrd 2664 1 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   ≤ cle 10020   − cmin 10211  ℕcn 10965  ℕ0cn0 11237  ℤcz 11322  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225  litMatclmat 29651 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-lmat 29652 This theorem is referenced by:  lmat22e12  29659  lmat22e21  29660  lmat22e22  29661
 Copyright terms: Public domain W3C validator