Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatfval 29674
 Description: Entries of a literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatfval.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
lmatfval.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
Assertion
Ref Expression
lmatfval (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem lmatfval
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . 3 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 29673 . . . 4 (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑖 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
51, 4syl5eq 2667 . 2 (𝜑𝑀 = (𝑖 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → 𝑖 = 𝐼)
76oveq1d 6622 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑖 − 1) = (𝐼 − 1))
87fveq2d 6154 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑊‘(𝑖 − 1)) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
9 simprr 795 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → 𝑗 = 𝐽)
109oveq1d 6622 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑗 − 1) = (𝐽 − 1))
118, 10fveq12d 6156 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → ((𝑊‘(𝑖 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
12 lmatfval.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
13 lmatfval.1 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
1413oveq2d 6623 . . 3 (𝜑 → (1...(#‘𝑊)) = (1...𝑁))
1512, 14eleqtrrd 2701 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (1...(#‘𝑊)))
16 lmatfval.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
17 1m1e0 11036 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
18 lmatfval.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
19 nnuz 11670 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
2018, 19syl6eleq 2708 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
21 eluzfz1 12293 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑁))
23 fz1fzo0m1 12459 . . . . . . 7 (1 ∈ (1...𝑁) → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 1) ∈ (0..^𝑁))
2517, 24syl5eqelr 2703 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
26 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
2726eleq1d 2683 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
2826fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
2928fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → (#‘(𝑊𝑖)) = (#‘(𝑊‘0)))
3029eqeq1d 2623 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
3127, 30imbi12d 334 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
32 lmatfval.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
3332ex 450 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁))
3425, 31, 33vtocld 3243 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
3525, 34mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
3635oveq2d 6623 . . 3 (𝜑 → (1...(#‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
3716, 36eleqtrrd 2701 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))))
38 fz1fzo0m1 12459 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1...𝑁) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3912, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁))
4013oveq2d 6623 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝑁))
4139, 40eleqtrrd 2701 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
42 wrdsymbcl 13260 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
432, 41, 42syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉)
44 fz1fzo0m1 12459 . . . . 5 (𝐽 ∈ (1...𝑁) → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
4516, 44syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^𝑁))
46 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → 𝑖 = (𝐼 − 1))
4746eleq1d 2683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
4846fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝐼 − 1)))
4948fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → (#‘(𝑊𝑖)) = (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))
5049eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
5147, 50imbi12d 334 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = (𝐼 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)))
5239, 51, 33vtocld 3243 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁))
5339, 52mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))) = 𝑁)
5453oveq2d 6623 . . . 4 (𝜑 → (0..^(#‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))) = (0..^𝑁))
5545, 54eleqtrrd 2701 . . 3 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑊‘(𝐼 − 1)))))
56 wrdsymbcl 13260 . . 3 (((𝑊‘(𝐼 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐽 − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑊‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
5743, 55, 56syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) ∈ 𝑉)
585, 11, 15, 37, 57ovmpt2d 6744 1 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   ↦ cmpt2 6609  0cc0 9883  1c1 9884   − cmin 10213  ℕcn 10967  ℤ≥cuz 11634  ...cfz 12271  ..^cfzo 12409  #chash 13060  Word cword 13233  litMatclmat 29671 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-hash 13061  df-word 13241  df-lmat 29672 This theorem is referenced by:  lmatfvlem  29675  lmat22e11  29678
 Copyright terms: Public domain W3C validator