MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnosub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnosub 27460
Description: Subtraction property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnosub.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnosub.5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
lnosub.6 𝑁 = ( −𝑣𝑊)
lnosub.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lnosub (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnosub
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11068 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 lnosub.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2621 . . . . 5 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4 eqid 2621 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
5 eqid 2621 . . . . 5 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
6 eqid 2621 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 eqid 2621 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
8 lnosub.7 . . . . 5 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lnolin 27455 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
101, 9mp3anr1 1418 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
1110ancom2s 843 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
12 lnosub.5 . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
132, 4, 6, 12nvmval2 27344 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
14133expb 1263 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
15143ad2antl1 1221 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
1615fveq2d 6152 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)))
17 simpl2 1063 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
182, 3, 8lnof 27456 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
19 simpl 473 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
20 ffvelrn 6313 . . . 4 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
2118, 19, 20syl2an 494 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
22 simpr 477 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
23 ffvelrn 6313 . . . 4 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
2418, 22, 23syl2an 494 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
25 lnosub.6 . . . 4 𝑁 = ( −𝑣𝑊)
263, 5, 7, 25nvmval2 27344 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
2717, 21, 24, 26syl3anc 1323 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
2811, 16, 273eqtr4d 2665 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881  -cneg 10211  NrmCVeccnv 27285   +𝑣 cpv 27286  BaseSetcba 27287   ·𝑠OLD cns 27288  𝑣 cnsb 27290   LnOp clno 27441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-neg 10213  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-lno 27445
This theorem is referenced by:  blometi  27504  blocnilem  27505  ubthlem2  27573
  Copyright terms: Public domain W3C validator