Theorem lsmidl 30974

Description: The sum of two ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmidl.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
lsmidl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmidl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmidl.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
lsmidl.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsmidl	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem lsmidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmidl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		lsmidl.3	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
3		lsmidl.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
4		lsmidl.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		lsmidl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		lsmidl.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lsmidllsp 30973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))
8		rlmlmod 19972	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
10		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	1, 10	lidlss 19978	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	5, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
13	1, 10	lidlss 19978	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ 𝐵)
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐵)
15	12, 14	unssd 4155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∪ 𝐽) ⊆ 𝐵)
16		rlmbas 19962	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
17	1, 16	eqtri 2843	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
18		lidlval 19959	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
19		rspval 19960	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
20	3, 19	eqtri 2843	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
21	17, 18, 20	lspcl 19743	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ (𝐼 ∪ 𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)) ∈ (LIdeal‘𝑅))
22	9, 15, 21	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)) ∈ (LIdeal‘𝑅))
23	7, 22	eqeltrd 2912	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3927   ⊆ wss 3929  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16478  LSSumclsm 18754  Ringcrg 19292  LModclmod 19629  LSpanclspn 19738  ringLModcrglmod 19936  LIdealclidl 19937  RSpancrsp 19938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19235  df-ur 19247  df-ring 19294  df-subrg 19528  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-sra 19939  df-rgmod 19940  df-lidl 19941  df-rsp 19942

This theorem is referenced by:  mxidlprm  31001