Theorem lsmidllsp 30971

Description: The sum of two ideals is the ideal generated by their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmidl.3	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
lsmidl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmidl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmidl.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
lsmidl.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
lsmidllsp	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))

Proof of Theorem lsmidllsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmidl.3	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑅)
2		lsmidl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		rlmlsm 19972	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
5	1, 4	syl5eq 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊕ = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))
6	5	oveqd 7166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽))
7		rlmlmod 19970	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
9		lsmidl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		lsmidl.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
11		lidlval 19957	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
12		lsmidl.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
13		rspval 19958	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
14	12, 13	eqtri 2843	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
15		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅))
16	11, 14, 15	lsmsp 19851	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))
17	8, 9, 10, 16	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(ringLMod‘𝑅))𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))
18	6, 17	eqtrd 2855	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊕ 𝐽) = (𝐾‘(𝐼 ∪ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3927  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16476  LSSumclsm 18752  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736  ringLModcrglmod 19934  LIdealclidl 19935  RSpancrsp 19936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-0g 16708  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-submnd 17950  df-grp 18099  df-minusg 18100  df-sbg 18101  df-subg 18269  df-cntz 18440  df-lsm 18754  df-cmn 18901  df-abl 18902  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-lidl 19939  df-rsp 19940

This theorem is referenced by:  lsmidl  30972  mxidlprm  30999