Theorem lspsnel4 19898

Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (elspansn4 29352 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel4.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsnel4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel4.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsnel4.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnel4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
lspsnel4.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lspsnel4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem lspsnel4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel4.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2		lspsnel4.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspsnel4.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 19880	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7		lspsnel4.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		lspsnel4.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
11	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
12	1, 2, 6, 8, 9, 11	lspsnel3 19765	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
13	5	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
14	7	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
16		lspsnel4.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		lspsnel4.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18	17, 2	lspsnid 19767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
19	5, 16, 18	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
20		lspsnel4.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		lspsnel4.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
22	17, 20, 2, 3, 16, 10, 21	lspsneleq 19889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
23	19, 22	eleqtrrd 2918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24	23	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
25	1, 2, 13, 14, 15, 24	lspsnel3 19765	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	12, 25	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  {csn 4569  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  0_gc0g 16715  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  LSpanclspn 19745  LVecclvec 19876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877

This theorem is referenced by:  lshpdisj  36125