Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnel4 19105
 Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (elspansn4 28402 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel4.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel4.o 0 = (0g𝑊)
lspsnel4.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel4.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel4.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsnel4.u (𝜑𝑈𝑆)
lspsnel4.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsnel4.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
lspsnel4.z (𝜑𝑌0 )
Assertion
Ref Expression
lspsnel4 (𝜑 → (𝑋𝑈𝑌𝑈))

Proof of Theorem lspsnel4
StepHypRef Expression
1 lspsnel4.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lspsnel4.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lspsnel4.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19087 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
65adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7 lspsnel4.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
9 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
10 lspsnel4.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
121, 2, 6, 8, 9, 11lspsnel3 18972 . 2 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑌𝑈)
135adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
147adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌𝑈) → 𝑈𝑆)
15 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
16 lspsnel4.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
17 lspsnel4.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
1817, 2lspsnid 18974 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
195, 16, 18syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
20 lspsnel4.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
21 lspsnel4.z . . . . . 6 (𝜑𝑌0 )
2217, 20, 2, 3, 16, 10, 21lspsneleq 19096 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
2319, 22eleqtrrd 2702 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
2423adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌𝑈) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
251, 2, 13, 14, 15, 24lspsnel3 18972 . 2 ((𝜑𝑌𝑈) → 𝑋𝑈)
2612, 25impbida 876 1 (𝜑 → (𝑋𝑈𝑌𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  {csn 4168  ‘cfv 5876  Basecbs 15838  0gc0g 16081  LModclmod 18844  LSubSpclss 18913  LSpanclspn 18952  LVecclvec 19083 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-drng 18730  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-lvec 19084 This theorem is referenced by:  lshpdisj  34093
 Copyright terms: Public domain W3C validator