Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpdisj 33091
Description: A hyperplane and the span in the hyperplane definition are disjoint. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpdisj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpdisj.o 0 = (0g𝑊)
lshpdisj.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpdisj.p = (LSSum‘𝑊)
lshpdisj.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpdisj.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpdisj.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpdisj.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpdisj.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpdisj (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Proof of Theorem lshpdisj
Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpdisj.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 18869 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
43adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5 lshpdisj.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
65adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑈) → 𝑋𝑉)
7 eqid 2605 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8 eqid 2605 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9 lshpdisj.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 eqid 2605 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
11 lshpdisj.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11lspsnel 18766 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
134, 6, 12syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
14 lshpdisj.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (LSSum‘𝑊)
15 lshpdisj.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
16 lshpdisj.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈𝐻)
17 lshpdisj.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
189, 11, 14, 15, 3, 16, 5, 17lshpnel 33087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
1918ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋𝑈)
20 lshpdisj.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑊)
21 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
221ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2321, 15, 3, 16lshplss 33085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
2423ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
255ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋𝑉)
263adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
27 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
285adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋𝑉)
299, 10, 7, 8, 11, 26, 27, 28lspsneli 18764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3029adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 )
329, 20, 21, 11, 22, 24, 25, 30, 31lspsnel4 18887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑋𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
3319, 32mtbid 312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
3433ex 448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
3534necon4ad 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 ))
36 eleq1 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑣𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
37 eqeq1 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑣 = 0 ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 ))
3836, 37imbi12d 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → ((𝑣𝑈𝑣 = 0 ) ↔ ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )))
3935, 38syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑣𝑈𝑣 = 0 )))
4039ex 448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑣𝑈𝑣 = 0 ))))
4140com23 83 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣𝑈𝑣 = 0 ))))
4241com24 92 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑣𝑈 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))))
4342imp31 446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
4443rexlimdva 3008 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
4513, 44sylbid 228 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑣 = 0 ))
4645expimpd 626 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣𝑈𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 = 0 ))
47 elin 3753 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑣𝑈𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
48 velsn 4136 . . . 4 (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
4946, 47, 483imtr4g 283 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 ∈ { 0 }))
5049ssrdv 3569 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ { 0 })
519, 21, 11lspsncl 18740 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
523, 5, 51syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5321lssincl 18728 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
543, 23, 52, 53syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5520, 21lss0ss 18712 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
563, 54, 55syl2anc 690 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
5750, 56eqssd 3580 1 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wrex 2892  cin 3534  wss 3535  {csn 4120  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  Scalarcsca 15713   ·𝑠 cvsca 15714  0gc0g 15865  LSSumclsm 17814  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  LSpanclspn 18734  LVecclvec 18865  LSHypclsh 33079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-lsm 17816  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-drng 18514  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-lvec 18866  df-lshyp 33081
This theorem is referenced by:  lshpsmreu  33213  lshpkrlem5  33218
  Copyright terms: Public domain W3C validator