Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltdiv23neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv23neg 39430
Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ltdiv23neg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.3 (𝜑𝐵 < 0)
ltdiv23neg.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.5 (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23neg (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23neg
StepHypRef Expression
1 ltdiv23neg.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltdiv23neg.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltdiv23neg.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 < 0)
42, 3ltned 10158 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
51, 2, 4redivcld 10838 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6 ltdiv23neg.4 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
75, 6, 2, 3ltmulneg 39428 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)))
8 recn 10011 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
10 recn 10011 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
112, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
129, 11, 4divcan1d 10787 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
1312breq2d 4656 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) < 𝐴))
14 remulcl 10006 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
156, 2, 14syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
16 ltdiv23neg.5 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 0)
176, 16ltned 10158 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ 0)
186, 17rereccld 10837 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
196, 16reclt0d 39420 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) < 0)
2015, 1, 18, 19ltmulneg 39428 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶))))
21 recn 10011 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
239, 22, 17divrecd 10789 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
2423eqcomd 2626 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐶)) = (𝐴 / 𝐶))
2522, 11mulcld 10045 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
2625, 22, 17divrecd 10789 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)))
27 divcan3 10696 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
28273expb 1264 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
2911, 22, 17, 28syl12anc 1322 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
3026, 29eqtr3d 2656 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = 𝐵)
3124, 30breq12d 4657 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
3220, 31bitrd 268 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
337, 13, 323bitrd 294 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926   < clt 10059   / cdiv 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-rp 11818
This theorem is referenced by:  pimrecltneg  40696
  Copyright terms: Public domain W3C validator