Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltdiv23neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv23neg 38359
Description: Swap denominator with other side of 'less than', when both are negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ltdiv23neg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.3 (𝜑𝐵 < 0)
ltdiv23neg.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltdiv23neg.5 (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23neg (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23neg
StepHypRef Expression
1 ltdiv23neg.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltdiv23neg.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltdiv23neg.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 < 0)
42, 3ltned 10021 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
51, 2, 4redivcld 10699 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6 ltdiv23neg.4 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
75, 6, 2, 3ltmulneg 38357 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)))
8 recn 9879 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
10 recn 9879 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
112, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
129, 11, 4divcan1d 10648 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
1312breq2d 4586 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) < 𝐴))
14 remulcl 9874 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
156, 2, 14syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
16 ltdiv23neg.5 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 0)
176, 16ltned 10021 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ 0)
186, 17rereccld 10698 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
196, 16reclt0d 38349 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) < 0)
2015, 1, 18, 19ltmulneg 38357 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶))))
21 recn 9879 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
239, 22, 17divrecd 10650 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
2423eqcomd 2612 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐶)) = (𝐴 / 𝐶))
2522, 11mulcld 9913 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
2625, 22, 17divrecd 10650 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)))
27 divcan3 10557 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
28273expb 1257 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
2911, 22, 17, 28syl12anc 1315 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
3026, 29eqtr3d 2642 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = 𝐵)
3124, 30breq12d 4587 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐶)) < ((𝐶 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
3220, 31bitrd 266 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) < 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
337, 13, 323bitrd 292 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   · cmul 9794   < clt 9927   / cdiv 10530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-rp 11662
This theorem is referenced by:  pimrecltneg  39411
  Copyright terms: Public domain W3C validator