Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mideu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mideu 25611
 Description: Existence and uniqueness of the midpoint, Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideu.3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
mideu (𝜑 → ∃!𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem mideu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 colperpex.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 colperpex.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 colperpex.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 colperpex.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 mideu.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 mideu.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mideu.2 . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
9 mideu.3 . . 3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9midex 25610 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
115ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12 simplrl 799 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝑥𝑃)
13 simplrr 800 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝑦𝑃)
147ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝐴𝑃)
158ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝐵𝑃)
16 simprl 793 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
1716eqcomd 2626 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
18 simprr 795 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))
1918eqcomd 2626 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → ((𝑆𝑦)‘𝐴) = 𝐵)
201, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19miduniq 25561 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴))) → 𝑥 = 𝑦)
2120ex 450 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → ((𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴)) → 𝑥 = 𝑦))
2221ralrimivva 2968 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴)) → 𝑥 = 𝑦))
23 fveq2 6178 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑦))
2423fveq1d 6180 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = ((𝑆𝑦)‘𝐴))
2524eqeq2d 2630 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ↔ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴)))
2625rmo4 3393 . . 3 (∃*𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ↔ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝐵 = ((𝑆𝑦)‘𝐴)) → 𝑥 = 𝑦))
2722, 26sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
28 reu5 3154 . 2 (∃!𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ↔ (∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ ∃*𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴)))
2910, 27, 28sylanbrc 697 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  ∃wrex 2910  ∃!wreu 2911  ∃*wrmo 2912   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  2c2 11055  Basecbs 15838  distcds 15931  TarskiGcstrkg 25310  DimTarskiG≥cstrkgld 25314  Itvcitv 25316  LineGclng 25317  pInvGcmir 25528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-concat 13284  df-s1 13285  df-s2 13574  df-s3 13575  df-trkgc 25328  df-trkgb 25329  df-trkgcb 25330  df-trkgld 25332  df-trkg 25333  df-cgrg 25387  df-leg 25459  df-mir 25529  df-rag 25570  df-perpg 25572 This theorem is referenced by:  midf  25649  ismidb  25651
 Copyright terms: Public domain W3C validator