Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4c 23242
 Description: Lemma for minvec 23253. The infimum of the distances to 𝐴 is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minveclem4c (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem4c
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.s . 2 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
2 minvec.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑈)
3 minvec.m . . . . 5 = (-g𝑈)
4 minvec.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑈)
5 minvec.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 minvec.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7 minvec.w . . . . 5 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
8 minvec.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
9 minvec.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.r . . . . 5 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 23241 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1211simp1d 1093 . . 3 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
1311simp2d 1094 . . 3 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
14 0re 10078 . . . 4 0 ∈ ℝ
1511simp3d 1095 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
16 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
1716ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑦 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑦𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1817rspcev 3340 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
1914, 15, 18sylancr 696 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
20 infrecl 11043 . . 3 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2112, 13, 19, 20syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
221, 21syl5eqel 2734 1 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  ℝcr 9973  0cc0 9974   < clt 10112   ≤ cle 10113  Basecbs 15904   ↾s cress 15905  TopOpenctopn 16129  -gcsg 17471  LSubSpclss 18980  normcnm 22428  ℂPreHilccph 23012  CMetSpccms 23175 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nlm 22438  df-cph 23014 This theorem is referenced by:  minveclem2  23243  minveclem3b  23245  minveclem4  23249
 Copyright terms: Public domain W3C validator