MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulmarep1gsum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulmarep1gsum2 20312
Description: The sum of element by element multiplications of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
ma1repvcl.1 1 = (1r𝐴)
mulmarep1el.0 0 = (0g𝑅)
mulmarep1el.e 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
mulmarep1gsum2.x × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mulmarep1gsum2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙   𝐾,𝑙   𝑁,𝑙   𝑅,𝑙   𝑉,𝑙   𝑋,𝑙   0 ,𝑙   𝐴,𝑙   𝑍,𝑙   × ,𝑙
Allowed substitution hints:   1 (𝑙)   𝐸(𝑙)

Proof of Theorem mulmarep1gsum2
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
3 simpl2 1063 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁))
4 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → 𝐼𝑁)
543ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐼𝑁)
65adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝐼𝑁)
7 simpl32 1141 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝐽𝑁)
8 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
96, 7, 83jca 1240 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑙𝑁))
102, 3, 93jca 1240 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑙𝑁)))
1110adantll 749 . . . . . . . 8 (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑙𝑁)))
12 marepvcl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13 marepvcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
14 marepvcl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
15 ma1repvcl.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝐴)
16 mulmarep1el.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
17 mulmarep1el.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
1812, 13, 14, 15, 16, 17mulmarep1el 20310 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑙𝑁)) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
20 iftrue 4069 . . . . . . . . 9 (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))
2120adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))
2221adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙𝑁) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))
2319, 22eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) ∧ 𝑙𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))
2423mpteq2dva 4709 . . . . 5 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽))) = (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙))))
2524oveq2d 6626 . . . 4 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))))
26 fveq1 6152 . . . . . . . . 9 ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑍𝐼))
2726eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝑋 × 𝐶) = 𝑍 → (𝑍𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
28273ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍) → (𝑍𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
29283ad2ant3 1082 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑍𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
3029adantl 482 . . . . 5 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍𝐼) = ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼))
31 mulmarep1gsum2.x . . . . . 6 × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
32 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
33 eqid 2621 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
341adantl 482 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑅 ∈ Ring)
3512, 13matrcl 20150 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
3635simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
37363ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
38373ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑁 ∈ Fin)
3938adantl 482 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑁 ∈ Fin)
4013eleq2i 2690 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
4140biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
42413ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
43423ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
4443adantl 482 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
4514eleq2i 2690 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑉𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
4645biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑉𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
47463ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
48473ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
4948adantl 482 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
505adantl 482 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → 𝐼𝑁)
5112, 31, 32, 33, 34, 39, 44, 49, 50mavmulfv 20284 . . . . 5 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → ((𝑋 × 𝐶)‘𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))))
5230, 51eqtrd 2655 . . . 4 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍𝐼) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)))))
53 iftrue 4069 . . . . . 6 (𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝑍𝐼))
5453eqcomd 2627 . . . . 5 (𝐽 = 𝐾 → (𝑍𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
5554adantr 481 . . . 4 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑍𝐼) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
5625, 52, 553eqtr2d 2661 . . 3 ((𝐽 = 𝐾 ∧ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍))) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
5756ex 450 . 2 (𝐽 = 𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
581adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
59 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁))
605adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → 𝐼𝑁)
61 simpl32 1141 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → 𝐽𝑁)
62 simpr 477 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → 𝐽𝐾)
6312, 13, 14, 15, 16, 17mulmarep1gsum1 20311 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
6458, 59, 60, 61, 62, 63syl113anc 1335 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
65 df-ne 2791 . . . . . 6 (𝐽𝐾 ↔ ¬ 𝐽 = 𝐾)
66 iffalse 4072 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐾 → if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)) = (𝐼𝑋𝐽))
6766eqcomd 2627 . . . . . 6 𝐽 = 𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
6865, 67sylbi 207 . . . . 5 (𝐽𝐾 → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
6968adantl 482 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → (𝐼𝑋𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
7064, 69eqtrd 2655 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) ∧ 𝐽𝐾) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
7170expcom 451 . 2 (𝐽𝐾 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽))))
7257, 71pm2.61ine 2873 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁 ∧ (𝑋 × 𝐶) = 𝑍)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = if(𝐽 = 𝐾, (𝑍𝐼), (𝐼𝑋𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3189  ifcif 4063  cop 4159  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809  Fincfn 7907  Basecbs 15792  .rcmulr 15874  0gc0g 16032   Σg cgsu 16033  1rcur 18433  Ringcrg 18479   Mat cmat 20145   maVecMul cmvmul 20278   matRepV cmatrepV 20295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-hom 15898  df-cco 15899  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-prds 16040  df-pws 16042  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-subrg 18710  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-dsmm 20008  df-frlm 20023  df-mamu 20122  df-mat 20146  df-mvmul 20279  df-marepv 20297
This theorem is referenced by:  cramerimplem2  20422
  Copyright terms: Public domain W3C validator