Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrf1 19473
 Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mvrf.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mvrf.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrf.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mvrf1.z 0 = (0g𝑅)
mvrf1.o 1 = (1r𝑅)
mvrf1.n (𝜑10 )
Assertion
Ref Expression
mvrf1 (𝜑𝑉:𝐼1-1𝐵)

Proof of Theorem mvrf1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mvrf.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3 mvrf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 mvrf.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 mvrf.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
61, 2, 3, 4, 5mvrf 19472 . 2 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
7 mvrf1.n . . . . . 6 (𝜑10 )
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → 10 )
9 simp2r 1108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))
109fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉𝑥)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = ((𝑉𝑦)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))))
11 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
12 mvrf1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
13 mvrf1.o . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑅)
1443ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝐼𝑊)
1553ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simp2ll 1148 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝐼)
172, 11, 12, 13, 14, 15, 16mvrid 19471 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉𝑥)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = 1 )
18 simp2lr 1149 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦𝐼)
19 1nn0 11346 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
2011snifpsrbag 19414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑊 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
2114, 19, 20sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
222, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 21mvrval2 19470 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑉𝑦)‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0))) = if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
2310, 17, 223eqtr3d 2693 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ))
24 simp3 1083 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25 mpteqb 6338 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
26 0nn0 11345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
2719, 26keepel 4188 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐼 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
2925, 28mprg 2955 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) ↔ ∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0))
30 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = 1)
31 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 = 𝑦𝑥 = 𝑦))
3231ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0))
3330, 32eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) ↔ 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
3433rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → (∀𝑧𝐼 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) = if(𝑧 = 𝑦, 1, 0) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
3529, 34syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
3616, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0)))
37 ax-1ne0 10043 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 0
38 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 = 0 ↔ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
3938necon3abid 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → (1 ≠ 0 ↔ ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0))
4037, 39mpbii 223 . . . . . . . . . . . 12 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → ¬ if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
41 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) = 0)
4240, 41nsyl2 142 . . . . . . . . . . 11 (1 = if(𝑥 = 𝑦, 1, 0) → 𝑥 = 𝑦)
4336, 42syl6 35 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → 𝑥 = 𝑦))
4424, 43mtod 189 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)))
45 iffalse 4128 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)) → if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → if((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1, 0)), 1 , 0 ) = 0 )
4723, 46eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → 1 = 0 )
48473expia 1286 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → (¬ 𝑥 = 𝑦1 = 0 ))
4948necon1ad 2840 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → ( 10𝑥 = 𝑦))
508, 49mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐼𝑦𝐼) ∧ (𝑉𝑥) = (𝑉𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
5150expr 642 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼)) → ((𝑉𝑥) = (𝑉𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
5251ralrimivva 3000 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑥) = (𝑉𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
53 dff13 6552 . 2 (𝑉:𝐼1-1𝐵 ↔ (𝑉:𝐼𝐵 ∧ ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑥) = (𝑉𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
546, 52, 53sylanbrc 699 1 (𝜑𝑉:𝐼1-1𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {crab 2945  ifcif 4119   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142   “ cima 5146  ⟶wf 5922  –1-1→wf1 5923  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  Basecbs 15904  0gc0g 16147  1rcur 18547  Ringcrg 18593   mPwSer cmps 19399   mVar cmvr 19400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-psr 19404  df-mvr 19405 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator