MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmgt0 22524
Description: The norm of a nonzero element is a positive real. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmgt0.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmgt0.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmgt0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmgt0 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))

Proof of Theorem nmgt0
StepHypRef Expression
1 nmgt0.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 nmgt0.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
3 nmgt0.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
41, 2, 3nmeq0 22512 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
54necon3bid 2908 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴0 ))
61, 2nmcl 22510 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
71, 2nmge0 22511 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
8 ne0gt0 10223 . . 3 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁𝐴)) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
96, 7, 8syl2anc 696 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
105, 9bitr3d 270 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  wne 2864   class class class wbr 4728  cfv 5969  cr 10016  0cc0 10017   < clt 10155  cle 10156  Basecbs 15948  0gc0g 16191  normcnm 22471  NrmGrpcngp 22472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-map 7944  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-sup 8432  df-inf 8433  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-2 11160  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-q 11871  df-rp 11915  df-xneg 12028  df-xadd 12029  df-xmul 12030  df-0g 16193  df-topgen 16195  df-mgm 17332  df-sgrp 17374  df-mnd 17385  df-grp 17515  df-psmet 19829  df-xmet 19830  df-met 19831  df-bl 19832  df-mopn 19833  df-top 20790  df-topon 20807  df-topsp 20828  df-bases 20841  df-xms 22215  df-ms 22216  df-nm 22477  df-ngp 22478
This theorem is referenced by:  ncvs1  23046
  Copyright terms: Public domain W3C validator