Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0le2is012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0le2is012 42043
 Description: A nonnegative integer which is less than or equal to 2 is either 0 or 1 or 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0le2is012 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))

Proof of Theorem nn0le2is012
StepHypRef Expression
1 nn0re 11056 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 2re 10845 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
41, 3leloed 9931 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 2 ↔ (𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2)))
5 nn0z 11141 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
6 2z 11150 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7 zltlem1 11171 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
85, 6, 7sylancl 692 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
9 2m1e1 10890 . . . . . . . . . 10 (2 − 1) = 1
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
1110breq2d 4493 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1))
128, 11bitrd 266 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
13 1red 9810 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
141, 13leloed 9931 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 ↔ (𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1)))
15 nn0lt10b 11180 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
16 3mix1 1222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
1715, 16syl6bi 241 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
1817com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
19 3mix2 1223 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2019a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2118, 20jaoi 392 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2221com12 32 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2314, 22sylbid 228 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2412, 23sylbid 228 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2524com12 32 . . . . 5 (𝑁 < 2 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
26 3mix3 1224 . . . . . 6 (𝑁 = 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2726a1d 25 . . . . 5 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2825, 27jaoi 392 . . . 4 ((𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2928com12 32 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
304, 29sylbid 228 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
3130imp 443 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∨ wo 381   ∧ wa 382   ∨ w3o 1029   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   class class class wbr 4481  (class class class)co 6426  ℝcr 9690  0cc0 9691  1c1 9692   < clt 9829   ≤ cle 9830   − cmin 10017  2c2 10825  ℕ0cn0 11047  ℤcz 11118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-n0 11048  df-z 11119 This theorem is referenced by:  exple2lt6  42044
 Copyright terms: Public domain W3C validator