Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0le2is012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0le2is012 11438
 Description: A nonnegative integer which is less than or equal to 2 is either 0 or 1 or 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0le2is012 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))

Proof of Theorem nn0le2is012
StepHypRef Expression
1 nn0re 11298 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 2re 11087 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
41, 3leloed 10177 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 2 ↔ (𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2)))
5 nn0z 11397 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
6 2z 11406 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7 zltlem1 11427 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
85, 6, 7sylancl 694 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
9 2m1e1 11132 . . . . . . . . . 10 (2 − 1) = 1
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
1110breq2d 4663 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1))
128, 11bitrd 268 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
13 1red 10052 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
141, 13leloed 10177 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 ↔ (𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1)))
15 nn0lt10b 11436 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
16 3mix1 1229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
1715, 16syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
1817com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
19 3mix2 1230 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2019a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2118, 20jaoi 394 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2221com12 32 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2314, 22sylbid 230 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2412, 23sylbid 230 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2524com12 32 . . . . 5 (𝑁 < 2 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
26 3mix3 1231 . . . . . 6 (𝑁 = 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2726a1d 25 . . . . 5 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2825, 27jaoi 394 . . . 4 ((𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
2928com12 32 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
304, 29sylbid 230 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
3130imp 445 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  ℝcr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   < clt 10071   ≤ cle 10072   − cmin 10263  2c2 11067  ℕ0cn0 11289  ℤcz 11374 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375 This theorem is referenced by:  xnn0le2is012  12073  exple2lt6  41916
 Copyright terms: Public domain W3C validator