MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zltlem1 11381
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zltlem1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))

Proof of Theorem zltlem1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 11371 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2 zleltp1 11379 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
31, 2sylan2 491 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
4 zcn 11333 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 9945 . . . . 5 1 ∈ ℂ
6 npcan 10241 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 693 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
98breq2d 4630 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝑀 < 𝑁))
103, 9bitr2d 269 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cc 9885  1c1 9888   + caddc 9890   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217  cz 11328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329
This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  11388  nn0lt2  11391  nn0le2is012  11392  nnltlem1  11395  nnm1ge0  11396  zextlt  11402  uzm1  11669  elfzm11  12359  preduz  12409  predfz  12412  elfzo  12420  fzosplitprm1  12525  intfracq  12605  seqf1olem1  12787  seqcoll  13193  isercolllem1  14336  fzm1ndvds  14975  bitscmp  15091  nn0seqcvgd  15214  isprm3  15327  ncoprmlnprm  15367  prmdiveq  15422  4sqlem12  15591  degltlem1  23749  dgreq0  23938  wilthlem1  24707  lgseisenlem2  25014  lgsquadlem1  25018  2lgslem1a1  25027  2sqlem8  25064  crctcshwlkn0lem4  26587  clwlkclwwlklem2a4  26778  clwlkclwwlklem2a  26779  frgrreggt1  27118  bcm1n  29413  smatrcl  29662  ballotlemimin  30366  ballotlemfrcn0  30390  knoppndvlem2  32173  poimirlem2  33070  poimirlem24  33092  fmul01lt1lem2  39244  fourierdlem41  39693  fourierdlem42  39694  fourierdlem50  39701  fourierdlem64  39715  fourierdlem79  39730  etransclem44  39823  etransclem48  39827  pw2m1lepw2m1  41619  fllog2  41675
  Copyright terms: Public domain W3C validator