Theorem nn0o 15146

Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0o1gt2 15144	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
2		1m1e0 11127	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
3	2	oveq1i 6700	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 1) / 2) = (0 / 2)
4		2cn 11129	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		2ne0 11151	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
6	4, 5	div0i 10797	. . . . . . 7 ⊢ (0 / 2) = 0
7	3, 6	eqtri 2673	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 1) / 2) = 0
8		0nn0 11345	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	7, 8	eqeltri 2726	. . . . 5 ⊢ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0
10		oveq1 6697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
11	10	oveq1d 6705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = ((1 − 1) / 2))
12	11	eleq1d 2715	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
14	9, 13	mpbiri 248	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
15	14	ex 449	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
16		2z 11447	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℤ)
18		nn0z 11438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrl 764	. . . . . . 7 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		2re 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
21		nn0re 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
22		ltle 10164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
23	20, 21, 22	sylancr 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
25	24	impcom 445	. . . . . . 7 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 2 ≤ 𝑁)
26		eluz2 11731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
27	17, 19, 25, 26	syl3anbrc 1265	. . . . . 6 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
28		simprr 811	. . . . . 6 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
29	27, 28	jca 553	. . . . 5 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
30		nno 15145	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
31		nnnn0 11337	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
33	32	ex 449	. . 3 ⊢ (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
34	15, 33	jaoi 393	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
35	1, 34	mpcom 38	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ_≥cuz 11725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726

This theorem is referenced by:  nn0ob  15147  nn0onn0ex  42643  nneom  42646  flnn0div2ge  42652  flnn0ohalf  42653