HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm3dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm3dif 27193
Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 20-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm3dif ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))))

Proof of Theorem norm3dif
StepHypRef Expression
1 oveq1 6530 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21fveq2d 6088 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
3 oveq1 6530 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶))
43fveq2d 6088 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐶)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)))
54oveq1d 6538 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))))
62, 5breq12d 4586 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵)))))
7 oveq2 6531 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
87fveq2d 6088 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
9 oveq2 6531 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
109fveq2d 6088 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(𝐶 𝐵)) = (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1110oveq2d 6539 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
128, 11breq12d 4586 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))
13 oveq2 6531 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1413fveq2d 6088 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))))
15 oveq1 6530 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1615fveq2d 6088 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1714, 16oveq12d 6541 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) + (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
1817breq2d 4585 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) + (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))
19 ifhvhv0 27065 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
20 ifhvhv0 27065 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
21 ifhvhv0 27065 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
2219, 20, 21norm3difi 27190 . 2 (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) + (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
236, 12, 18, 22dedth3h 4086 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  ifcif 4031   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523   + caddc 9791  cle 9927  chil 26962  normcno 26966  0c0v 26967   cmv 26968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-hfvadd 27043  ax-hvcom 27044  ax-hvass 27045  ax-hv0cl 27046  ax-hvaddid 27047  ax-hfvmul 27048  ax-hvmulid 27049  ax-hvmulass 27050  ax-hvdistr2 27052  ax-hvmul0 27053  ax-hfi 27122  ax-his1 27125  ax-his2 27126  ax-his3 27127  ax-his4 27128
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-seq 12615  df-exp 12674  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-hnorm 27011  df-hvsub 27014
This theorem is referenced by:  norm3dif2  27194
  Copyright terms: Public domain W3C validator