Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm3dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm3dif 27977
 Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 20-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm3dif ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))))

Proof of Theorem norm3dif
StepHypRef Expression
1 oveq1 6642 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21fveq2d 6182 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
3 oveq1 6642 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶))
43fveq2d 6182 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐶)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)))
54oveq1d 6650 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))))
62, 5breq12d 4657 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵)))))
7 oveq2 6643 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
87fveq2d 6182 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
9 oveq2 6643 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
109fveq2d 6182 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(𝐶 𝐵)) = (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1110oveq2d 6651 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
128, 11breq12d 4657 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))
13 oveq2 6643 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1413fveq2d 6182 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))))
15 oveq1 6642 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1615fveq2d 6182 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1714, 16oveq12d 6653 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) + (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
1817breq2d 4656 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) + (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) + (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))))
19 ifhvhv0 27849 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
20 ifhvhv0 27849 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
21 ifhvhv0 27849 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
2219, 20, 21norm3difi 27974 . 2 (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) ≤ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) + (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
236, 12, 18, 22dedth3h 4132 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ifcif 4077   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   + caddc 9924   ≤ cle 10060   ℋchil 27746  normℎcno 27750  0ℎc0v 27751   −ℎ cmv 27752 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-hfvadd 27827  ax-hvcom 27828  ax-hvass 27829  ax-hv0cl 27830  ax-hvaddid 27831  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833  ax-hvmulass 27834  ax-hvdistr2 27836  ax-hvmul0 27837  ax-hfi 27906  ax-his1 27909  ax-his2 27910  ax-his3 27911  ax-his4 27912 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-hnorm 27795  df-hvsub 27798 This theorem is referenced by:  norm3dif2  27978
 Copyright terms: Public domain W3C validator