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Theorem numclwlk2lem2f1o 27540
 Description: 𝑅 is a 1-1 onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 21-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 17-Mar-2022.) (Revised by AV, 1-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
numclwwlk.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f1o ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑉   𝑥,𝐺,𝑤   𝑥,𝐻   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f1o
Dummy variables 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2822 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
2 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑥))
3 oveq1 6820 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
42, 3eqeq12d 2775 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑅𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ↔ (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
51, 4imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
65imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))) ↔ ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))))
7 numclwwlk.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 numclwwlk.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
9 numclwwlk.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
10 numclwwlk.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
117, 8, 9, 10numclwlk2lem2fv 27539 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
126, 11chvarv 2408 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
13123adant1 1125 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
1413imp 444 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
157, 8, 9, 10numclwlk2lem2f 27538 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))
1615ffvelrnda 6522 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑅𝑥) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
1714, 16eqeltrrd 2840 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
1817ralrimiva 3104 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
197, 8, 9numclwwlk2lem1 27537 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) → ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
2019imp 444 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)))
217, 8numclwwlkovq 27535 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
2221eleq2d 2825 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
23223adant1 1125 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
24 fveq1 6351 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘0) = (𝑢‘0))
2524eqeq1d 2762 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘0) = 𝑋))
26 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → (lastS‘𝑤) = (lastS‘𝑢))
2726neeq1d 2991 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → ((lastS‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋))
2825, 27anbi12d 749 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑢 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)))
2928elrab 3504 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)))
3023, 29syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋))))
31 wwlknbp1 26947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
32 3simpc 1147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
347wrdeqi 13514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word 𝑉 = Word (Vtx‘𝐺)
3534eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ Word 𝑉𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3635anbi1i 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
3733, 36sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
38 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
39 nnnn0 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
40 2nn 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4241nnzd 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
43 nn0pzuz 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2))
4439, 42, 43syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2))
459numclwwlkovh 27534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
4644, 45sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
4746eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
48 fveq1 6351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
4948eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
50 fveq1 6351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
5150, 48neeq12d 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
5249, 51anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
5352elrab 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
5447, 53syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
55543adant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
5655adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
577clwwlknbp 27163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)))
58 lencl 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑢 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑢) ∈ ℕ0)
59 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
60 df-2 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 = (1 + 1)
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (1 + 1))
6261oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) = (𝑁 + (1 + 1)))
63 nncn 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
64 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6563, 64, 64addassd 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
6662, 65eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6766adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6867eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ↔ (♯‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
6968biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
7069adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
7170impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (♯‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1))
72 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((♯‘𝑢) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑢) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
7372ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((♯‘𝑢) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
7471, 73eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))
7559, 74jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))
7675exp31 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
7758, 76sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
7877com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
79783ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
8079impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8180com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8281ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8357, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8483adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8656, 85sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8786ralrimiv 3103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))
8838, 87jca 555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8988ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
9037, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
9291imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
93 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣𝑋
94 nfmpt21 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑣(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
959, 94nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣𝐻
96 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣(𝑁 + 2)
9793, 95, 96nfov 6839 . . . . . . . . . . . 12 𝑣(𝑋𝐻(𝑁 + 2))
9897reuccats1 13680 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (♯‘𝑢)⟩)))
9992, 98syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (♯‘𝑢)⟩)))
10099imp 444 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (♯‘𝑢)⟩))
10131simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1))
102101eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 + 1) = (♯‘𝑢))
103102ad4antr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑁 + 1) = (♯‘𝑢))
104103opeq2d 4560 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ⟨0, (𝑁 + 1)⟩ = ⟨0, (♯‘𝑢)⟩)
105104oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑥 substr ⟨0, (♯‘𝑢)⟩))
106105eqeq2d 2770 . . . . . . . . . 10 (((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ↔ 𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (♯‘𝑢)⟩)))
107106reubidva 3264 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (♯‘𝑢)⟩)))
108100, 107mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
109108exp31 631 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
110109com12 32 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
11130, 110sylbid 230 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
112111imp 444 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
11320, 112mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
114113ralrimiva 3104 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
11510f1ompt 6545 . 2 (𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
11618, 114, 115sylanbrc 701 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃!wreu 3052  {crab 3054  ⟨cop 4327   ↦ cmpt 4881  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   − cmin 10458  ℕcn 11212  2c2 11262  ℕ0cn0 11484  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  ♯chash 13311  Word cword 13477  lastSclsw 13478   ++ cconcat 13479  ⟨“cs1 13480   substr csubstr 13481  Vtxcvtx 26073   WWalksN cwwlksn 26929   ClWWalksN cclwwlkn 27147  ClWWalksNOncclwwlknon 27232   FriendGraph cfrgr 27410 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-wwlks 26933  df-wwlksn 26934  df-clwwlk 27105  df-clwwlkn 27149  df-clwwlknon 27233  df-frgr 27411 This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem3  27541
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