MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nncn 11066
Description: A positive integer is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nncn (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nncn
StepHypRef Expression
1 nnsscn 11063 . 2 ℕ ⊆ ℂ
21sseli 3632 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cc 9972  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  nn1m1nn  11078  nn1suc  11079  nnaddcl  11080  nnmulcl  11081  nnsub  11097  nndiv  11099  nndivtr  11100  nnnn0addcl  11361  nn0nnaddcl  11362  elnnnn0  11374  nn0sub  11381  nnnegz  11418  elz2  11432  zaddcl  11455  nnaddm1cl  11472  zdiv  11485  zdivadd  11486  zdivmul  11487  nneo  11499  peano5uzi  11504  elq  11828  qmulz  11829  qaddcl  11842  qnegcl  11843  qmulcl  11844  qreccl  11846  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem5OLD  11862  nnledivrp  11978  nn0ledivnn  11979  fseq1m1p1  12453  ubmelm1fzo  12604  subfzo0  12630  quoremz  12694  quoremnn0ALT  12696  intfracq  12698  fldiv  12699  fldiv2  12700  modmulnn  12728  addmodid  12758  addmodidr  12759  modaddmodup  12773  modfzo0difsn  12782  modsumfzodifsn  12783  addmodlteq  12785  nn0ennn  12818  ser1const  12897  expneg  12908  expm1t  12928  nnsqcl  12973  nnlesq  13008  digit2  13037  digit1  13038  facdiv  13114  facndiv  13115  faclbnd  13117  faclbnd4lem1  13120  faclbnd4lem4  13123  bcn1  13140  bcm1k  13142  bcp1n  13143  bcval5  13145  bcn2m1  13151  swrdccatwrd  13514  cshwidxmod  13595  cshwidxm  13600  cshwidxn  13601  repswcshw  13604  isercoll2  14443  divcnv  14629  harmonic  14635  arisum  14636  arisum2  14637  expcnv  14640  geomulcvg  14651  mertenslem2  14661  ef0lem  14853  efexp  14875  ruclem12  15014  sqrt2irr  15023  nndivides  15037  modmulconst  15060  dvdsflip  15086  nn0enne  15141  nno  15145  pwp1fsum  15161  divalgmod  15176  divalgmodOLD  15177  ndvdsadd  15181  modgcd  15300  gcddiv  15315  gcdmultiple  15316  gcdmultiplez  15317  rpmulgcd  15322  rplpwr  15323  sqgcd  15325  lcmgcdlem  15366  qredeq  15418  qredeu  15419  cncongrcoprm  15431  prmind2  15445  isprm6  15473  divnumden  15503  divdenle  15504  nn0gcdsq  15507  hashgcdlem  15540  pythagtriplem1  15568  pythagtriplem2  15569  pythagtriplem6  15573  pythagtriplem7  15574  pythagtriplem12  15578  pythagtriplem14  15580  pythagtriplem15  15581  pythagtriplem16  15582  pythagtriplem17  15583  pythagtriplem19  15585  pcqcl  15608  pcexp  15611  pcneg  15625  fldivp1  15648  oddprmdvds  15654  prmpwdvds  15655  infpnlem2  15662  prmreclem1  15667  prmreclem6  15672  4sqlem19  15714  vdwapun  15725  vdwapid1  15726  prmonn2  15790  prmgaplem7  15808  mulgnegnn  17598  mulgnnass  17623  mulgnnassOLD  17624  mulgmodid  17628  odmod  18011  cply1mul  19712  cnfldmulg  19826  prmirredlem  19889  znidomb  19958  znrrg  19962  chfacfscmul0  20711  chfacfscmulfsupp  20712  chfacfscmulgsum  20713  chfacfpmmul0  20715  chfacfpmmulfsupp  20716  chfacfpmmulgsum  20717  cayhamlem1  20719  cpmadugsumlemF  20729  ovolunlem1  23311  uniioombllem3  23399  vitali  23427  mbfi1fseqlem3  23529  dvexp  23761  dvexp3  23786  plyeq0lem  24011  dgrcolem1  24074  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem7  24149  pserdv2  24229  abelthlem6  24235  logtayl  24451  logtaylsum  24452  logtayl2  24453  cxpexp  24459  cxproot  24481  root1id  24540  root1eq1  24541  cxpeq  24543  atantayl  24709  atantayl2  24710  birthdaylem2  24724  dfef2  24742  emcllem2  24768  emcllem3  24769  zetacvg  24786  lgam1  24835  gamfac  24838  basellem2  24853  basellem3  24854  basellem5  24856  basellem8  24859  mumul  24952  fsumdvdscom  24956  muinv  24964  chtublem  24981  perfect  25001  pcbcctr  25046  bclbnd  25050  bposlem1  25054  bposlem6  25059  lgssq2  25108  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2dlem3  25138  2lgslem1a1  25159  2sqlem6  25193  2sqlem10  25198  rplogsumlem1  25218  dchrmusumlema  25227  dchrmusum2  25228  dchrvmasumiflem1  25235  dchrvmaeq0  25238  dchrisum0re  25247  logdivbnd  25290  cusgrsize2inds  26405  wlkdlem2  26636  crctcshwlkn0lem1  26758  crctcshwlkn0lem6  26763  0enwwlksnge1  26818  wspthsnonn0vne  26882  clwwlknwwlksn  27000  clwwlknwwlksnOLD  27001  clwwlkinwwlk  27003  clwwlkel  27009  clwwlkf  27010  clwwlkf1  27012  wwlksubclwwlk  27023  eucrctshift  27221  eucrct2eupth  27223  2clwwlk2clwwlklem2lem2  27329  numclwwlk2lem1  27356  numclwlk2lem2f  27357  numclwlk2lem2f1o  27359  numclwwlk2lem1OLD  27363  numclwlk2lem2fOLD  27364  numclwlk2lem2f1oOLD  27366  ipasslem4  27817  ipasslem5  27818  isarchi3  29869  oddpwdc  30544  eulerpartlemb  30558  fibp1  30591  subfacp1lem6  31293  subfaclim  31296  snmlff  31437  circum  31694  divcnvlin  31744  bcprod  31750  iprodgam  31754  faclim  31758  faclim2  31760  nn0prpwlem  32442  nndivsub  32581  knoppndvlem13  32640  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  poimirlem29  33568  poimirlem30  33569  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  mblfinlem2  33577  ovoliunnfl  33581  voliunnfl  33583  irrapxlem1  37703  pellexlem1  37710  pellqrex  37760  2nn0ind  37827  jm2.17c  37846  acongrep  37864  jm2.18  37872  jm2.20nn  37881  jm2.16nn0  37888  proot1ex  38096  hashnzfzclim  38838  binomcxplemnotnn0  38872  nnsplit  39887  clim1fr1  40151  sumnnodd  40180  wallispilem4  40603  wallispilem5  40604  wallispi  40605  wallispi2lem1  40606  wallispi2lem2  40607  wallispi2  40608  stirlinglem1  40609  stirlinglem3  40611  stirlinglem4  40612  stirlinglem5  40613  stirlinglem6  40614  stirlinglem7  40615  stirlinglem8  40616  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlinglem12  40620  stirlinglem13  40621  stirlinglem14  40622  stirlinglem15  40623  dirkerper  40631  dirkertrigeqlem1  40633  fouriersw  40766  nnfoctbdjlem  40990  deccarry  41646  subsubelfzo0  41661  sqrtpwpw2p  41775  fmtnodvds  41781  fmtnoprmfac1  41802  fmtnoprmfac2lem1  41803  fmtnoprmfac2  41804  pwdif  41826  lighneallem2  41848  lighneallem3  41849  lighneallem4  41852  perfectALTV  41957  tgoldbachlt  42029  tgoldbachltOLD  42035  nnsgrp  42142  nnsgrpnmnd  42143  bcpascm1  42454  altgsumbcALT  42456  eluz2cnn0n1  42626  pw2m1lepw2m1  42635  mod0mul  42639  m1modmmod  42641  logbpw2m1  42686  blenpw2m1  42698  nnpw2blen  42699  nnpw2pmod  42702  blennnt2  42708  blennn0em1  42710  nn0digval  42719  dignn0fr  42720  dignn0ldlem  42721  dig0  42725  nn0sumshdiglemA  42738  nn0sumshdiglemB  42739  nn0sumshdiglem1  42740
  Copyright terms: Public domain W3C validator