MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnzd 11315
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnzd (𝜑𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd
StepHypRef Expression
1 nnzd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11200 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
32nn0zd 11314 1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  cn 10869  cz 11212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12722  expmulz  12725  expmulnbnd  12815  facndiv  12894  bcval5  12924  bcpasc  12927  hashf1  13052  isercolllem1  14191  isercolllem2  14192  o1fsum  14334  bcxmas  14354  climcndslem2  14369  climcnds  14370  mertenslem1  14403  fprodser  14466  bpolydiflem  14572  eftlub  14626  eirrlem  14719  rpnnen2lem7  14736  rpnnen2lem9  14738  rpnnen2lem11  14740  sqr2irrlem  14764  dvdsfac  14834  dvdsmod  14836  oddpwp1fsum  14901  bitsfzolem  14942  bitsmod  14944  bitsfi  14945  bitscmp  14946  bitsinv1  14950  sadadd3  14969  sadaddlem  14974  bitsuz  14982  bitsshft  14983  gcdnncl  15015  gcd1  15035  bezoutlem3  15044  bezoutlem4  15045  mulgcd  15051  gcdmultiplez  15056  rplpwr  15062  rppwr  15063  sqgcd  15064  dvdssq  15066  lcmneg  15102  lcmgcdlem  15105  rpdvds  15160  coprmprod  15161  coprmproddvdslem  15162  congr  15164  cncongr1  15167  cncongr2  15168  prmz  15175  prmind2  15184  divgcdodd  15208  isprm6  15212  prmexpb  15216  prmfac1  15217  rpexp  15218  numdensq  15248  hashdvds  15266  phiprmpw  15267  crth  15269  phimullem  15270  eulerthlem1  15272  eulerthlem2  15273  prmdivdiv  15278  hashgcdlem  15279  odzdvds  15286  pythagtriplem4  15310  pythagtriplem6  15312  pythagtriplem7  15313  pythagtriplem11  15316  pythagtriplem13  15318  pythagtriplem19  15324  pclem  15329  pcprendvds2  15332  pcpre1  15333  pcpremul  15334  pceulem  15336  pcqmul  15344  pcdvdsb  15359  pcidlem  15362  pcdvdstr  15366  pcgcd1  15367  pc2dvds  15369  pcprmpw2  15372  pcaddlem  15378  pcadd  15379  pcmpt2  15383  pcmptdvds  15384  pcfac  15389  pcbc  15390  qexpz  15391  oddprmdvds  15393  prmpwdvds  15394  pockthlem  15395  pockthg  15396  prmreclem2  15407  prmreclem3  15408  prmreclem4  15409  prmreclem5  15410  prmreclem6  15411  4sqlem5  15432  4sqlem8  15435  4sqlem9  15436  4sqlem10  15437  4sqlem12  15446  4sqlem14  15448  4sqlem16  15450  4sqlem17  15451  vdwlem1  15471  vdwlem2  15472  vdwlem3  15473  vdwlem6  15476  vdwlem9  15479  vdwlem10  15480  vdwnnlem3  15487  prmdvdsprmop  15533  prmolelcmf  15538  prmgaplem1  15539  prmgaplem7  15547  prmgaplem8  15548  gsumwsubmcl  17146  gsumccat  17149  gsumwmhm  17153  mulgneg  17331  mulgnndir  17340  mulgnndirOLD  17341  psgnunilem4  17688  odlem2  17729  mndodconglem  17731  odmod  17736  gexlem2  17768  gexcl3  17773  gexcl2  17775  sylow1lem1  17784  sylow1lem3  17786  sylow1lem5  17788  pgpfi  17791  fislw  17811  sylow3lem4  17816  gexexlem  18026  ablfacrplem  18235  ablfacrp  18236  ablfacrp2  18237  ablfac1lem  18238  ablfac1b  18240  ablfac1eu  18243  pgpfac1lem3a  18246  ablfaclem3  18257  znrrg  19680  cayhamlem1  20437  caublcls  22859  ovolicc2lem4  23039  iundisj2  23068  volsup  23075  uniioombllem3  23103  mbfi1fseqlem3  23234  mbfi1fseqlem4  23235  elqaalem2  23823  aalioulem1  23835  aalioulem4  23838  aalioulem5  23839  aalioulem6  23840  aaliou  23841  aaliou3lem1  23845  aaliou3lem2  23846  aaliou3lem3  23847  aaliou3lem8  23848  aaliou3lem5  23850  aaliou3lem6  23851  aaliou3lem7  23852  taylthlem2  23876  cxpeq  24242  amgmlem  24460  lgamgulmlem4  24502  lgamcvg2  24525  wilthlem2  24539  wilth  24541  wilthimp  24542  ftalem5  24547  basellem2  24552  basellem3  24553  basellem4  24554  basellem5  24555  muval1  24603  dvdssqf  24608  sgmnncl  24617  efchtdvds  24629  mumullem2  24650  mumul  24651  sqff1o  24652  fsumdvdsdiaglem  24653  dvdsppwf1o  24656  dvdsflf1o  24657  muinv  24663  dvdsmulf1o  24664  chtublem  24680  fsumvma2  24683  vmasum  24685  chpchtsum  24688  logfacubnd  24690  mersenne  24696  perfect1  24697  perfectlem1  24698  perfectlem2  24699  perfect  24700  dchrelbas4  24712  dchrfi  24724  bcmono  24746  bcp1ctr  24748  bclbnd  24749  bposlem1  24753  bposlem3  24755  bposlem5  24757  bposlem6  24758  bposlem9  24761  lgsmod  24792  lgsdir  24801  lgsdilem2  24802  lgsne0  24804  lgsqrlem2  24816  lgsqr  24820  lgsqrmodndvds  24822  gausslemma2dlem0c  24827  gausslemma2dlem0h  24832  gausslemma2dlem0i  24833  gausslemma2dlem2  24836  gausslemma2dlem6  24841  gausslemma2dlem7  24842  gausslemma2d  24843  lgseisenlem1  24844  lgseisenlem2  24845  lgseisenlem3  24846  lgseisenlem4  24847  lgsquadlem1  24849  lgsquadlem2  24850  lgsquadlem3  24851  lgsquad2lem1  24853  lgsquad2lem2  24854  lgsquad2  24855  m1lgs  24857  2lgslem2  24864  2sqlem3  24889  2sqlem4  24890  2sqlem8  24895  chebbnd1lem1  24902  rplogsumlem2  24918  rpvmasumlem  24920  dchrisumlem1  24922  dchrisumlem2  24923  dchrisumlem3  24924  dchrisum0fmul  24939  dchrisum0ff  24940  dchrisum0flblem1  24941  dchrisum0flblem2  24942  dchrisum0flb  24943  dchrisum0  24953  pntrsumbnd2  25000  pntrlog2bndlem1  25010  pntrlog2bndlem6  25016  pntpbnd2  25020  pntlemg  25031  pntlemj  25036  pntlemf  25038  ostth2lem2  25067  ostth2lem3  25068  ostth3  25071  minvecolem4  26913  iundisj2f  28578  ssnnssfz  28730  iundisj2fi  28736  f1ocnt  28739  numdenneg  28743  ltesubnnd  28748  isarchi3  28865  archiabllem1b  28870  psgnfzto1stlem  28974  smatrcl  28983  1smat1  28991  submateqlem1  28994  submateqlem2  28995  lmatfvlem  29002  qqhval2  29147  qqhf  29151  qqhghm  29153  qqhrhm  29154  qqhnm  29155  qqhre  29185  esumcvg  29268  meascnbl  29402  omssubadd  29482  oddpwdc  29536  ballotlemfp1  29673  ballotlemfc0  29674  ballotlemfcc  29675  ballotlemimin  29687  ballotlemic  29688  ballotlem1c  29689  subfaclim  30217  cvmliftlem7  30320  sinccvglem  30613  bcprod  30670  bccolsum  30671  faclimlem2  30676  faclim2  30680  poimirlem1  32363  poimirlem2  32364  poimirlem3  32365  poimirlem4  32366  poimirlem6  32368  poimirlem8  32370  poimirlem9  32371  poimirlem10  32372  poimirlem11  32373  poimirlem13  32375  poimirlem14  32376  poimirlem15  32377  poimirlem16  32378  poimirlem17  32379  poimirlem18  32380  poimirlem19  32381  poimirlem20  32382  poimirlem21  32383  poimirlem22  32384  poimirlem23  32385  poimirlem24  32386  poimirlem26  32388  poimirlem27  32389  poimirlem28  32390  poimirlem31  32393  mblfinlem2  32400  seqpo  32496  incsequz  32497  incsequz2  32498  irrapxlem3  36189  irrapxlem5  36191  pellexlem5  36198  pellexlem6  36199  pellex  36200  pell1234qrmulcl  36220  jm2.23  36364  jm2.20nn  36365  jm2.26lem3  36369  jm2.27a  36373  jm2.27b  36374  jm2.27c  36375  jm3.1lem1  36385  jm3.1lem3  36387  inductionexd  37256  nznngen  37320  hashnzfz2  37325  fmuldfeq  38433  divcnvg  38477  stoweidlem1  38677  stoweidlem3  38679  stoweidlem11  38687  stoweidlem20  38696  stoweidlem26  38702  stoweidlem34  38710  stoweidlem51  38727  stirlinglem4  38753  stirlinglem5  38754  stirlinglem8  38757  dirkerper  38772  dirkertrigeqlem2  38775  dirkertrigeqlem3  38776  dirkercncflem2  38780  fourierdlem11  38794  fourierdlem14  38797  fourierdlem20  38803  fourierdlem25  38808  fourierdlem37  38820  fourierdlem41  38824  fourierdlem48  38830  fourierdlem49  38831  fourierdlem54  38836  fourierdlem64  38846  fourierdlem73  38855  fourierdlem79  38861  fourierdlem92  38874  fourierdlem93  38875  fourierdlem111  38893  sqwvfourb  38905  etransclem3  38913  etransclem7  38917  etransclem10  38920  etransclem15  38925  etransclem24  38934  etransclem25  38935  etransclem26  38936  etransclem27  38937  etransclem28  38938  etransclem35  38945  etransclem37  38947  etransclem38  38948  etransclem41  38951  etransclem44  38954  etransclem45  38955  etransclem48  38958  ovnsubaddlem1  39243  vonioolem1  39354  iccpartgtprec  39742  iccpartipre  39743  fmtnoodd  39767  goldbachthlem2  39780  goldbachth  39781  odz2prm2pw  39797  fmtnoprmfac1lem  39798  fmtnoprmfac2lem1  39800  fmtnoprmfac2  39801  fmtnofac2lem  39802  2pwp1prm  39825  lighneallem1  39844  lighneallem4  39849  proththdlem  39852  proththd  39853  divgcdoddALTV  39915  perfectALTVlem1  39948  perfectALTVlem2  39949  perfectALTV  39950  gboge7  39969  pw2m1lepw2m1  42085  nnolog2flm1  42163  dignn0fr  42174  dignn0flhalflem1  42188
  Copyright terms: Public domain W3C validator