MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnzd 11519
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnzd (𝜑𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd
StepHypRef Expression
1 nnzd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11389 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
32nn0zd 11518 1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cn 11058  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12943  expmulz  12946  expmulnbnd  13036  facndiv  13115  bcval5  13145  bcpasc  13148  hashf1  13279  isercolllem1  14439  isercolllem2  14440  o1fsum  14589  bcxmas  14611  climcndslem2  14626  climcnds  14627  mertenslem1  14660  fprodser  14723  bpolydiflem  14829  eftlub  14883  eirrlem  14976  rpnnen2lem7  14993  rpnnen2lem9  14995  rpnnen2lem11  14997  sqrt2irrlem  15021  sqrt2irrlemOLD  15022  dvdsfac  15095  dvdsmod  15097  oddpwp1fsum  15162  bitsfzolem  15203  bitsmod  15205  bitsfi  15206  bitscmp  15207  bitsinv1  15211  sadadd3  15230  sadaddlem  15235  bitsuz  15243  bitsshft  15244  gcdnncl  15276  gcd1  15296  bezoutlem3  15305  bezoutlem4  15306  mulgcd  15312  gcdmultiplez  15317  rplpwr  15323  rppwr  15324  sqgcd  15325  dvdssq  15327  lcmneg  15363  lcmgcdlem  15366  rpdvds  15421  coprmprod  15422  coprmproddvdslem  15423  congr  15425  cncongr1  15428  cncongr2  15429  prmz  15436  prmind2  15445  divgcdodd  15469  isprm6  15473  prmexpb  15477  prmfac1  15478  rpexp  15479  numdensq  15509  hashdvds  15527  phiprmpw  15528  crth  15530  phimullem  15531  eulerthlem1  15533  eulerthlem2  15534  prmdivdiv  15539  hashgcdlem  15540  odzdvds  15547  pythagtriplem4  15571  pythagtriplem6  15573  pythagtriplem7  15574  pythagtriplem11  15577  pythagtriplem13  15579  pythagtriplem19  15585  pclem  15590  pcprendvds2  15593  pcpre1  15594  pcpremul  15595  pceulem  15597  pcqmul  15605  pcdvdsb  15620  pcidlem  15623  pcdvdstr  15627  pcgcd1  15628  pc2dvds  15630  pcprmpw2  15633  pcaddlem  15639  pcadd  15640  pcmpt2  15644  pcmptdvds  15645  pcfac  15650  pcbc  15651  qexpz  15652  oddprmdvds  15654  prmpwdvds  15655  pockthlem  15656  pockthg  15657  prmreclem2  15668  prmreclem3  15669  prmreclem4  15670  prmreclem5  15671  prmreclem6  15672  4sqlem5  15693  4sqlem8  15696  4sqlem9  15697  4sqlem10  15698  4sqlem12  15707  4sqlem14  15709  4sqlem16  15711  4sqlem17  15712  vdwlem1  15732  vdwlem2  15733  vdwlem3  15734  vdwlem6  15737  vdwlem9  15740  vdwlem10  15741  vdwnnlem3  15748  prmdvdsprmop  15794  prmolelcmf  15799  prmgaplem1  15800  prmgaplem7  15808  prmgaplem8  15809  gsumwsubmcl  17422  gsumccat  17425  gsumwmhm  17429  mulgneg  17607  mulgnndir  17616  mulgnndirOLD  17617  psgnunilem4  17963  odlem2  18004  mndodconglem  18006  odmod  18011  gexlem2  18043  gexcl3  18048  gexcl2  18050  sylow1lem1  18059  sylow1lem3  18061  sylow1lem5  18063  pgpfi  18066  fislw  18086  sylow3lem4  18091  gexexlem  18301  ablfacrplem  18510  ablfacrp  18511  ablfacrp2  18512  ablfac1lem  18513  ablfac1b  18515  ablfac1eu  18518  pgpfac1lem3a  18521  ablfaclem3  18532  znrrg  19962  cayhamlem1  20719  caublcls  23153  ovolicc2lem4  23334  iundisj2  23363  volsup  23370  uniioombllem3  23399  mbfi1fseqlem3  23529  mbfi1fseqlem4  23530  elqaalem2  24120  aalioulem1  24132  aalioulem4  24135  aalioulem5  24136  aalioulem6  24137  aaliou  24138  aaliou3lem1  24142  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem3  24144  aaliou3lem8  24145  aaliou3lem5  24147  aaliou3lem6  24148  aaliou3lem7  24149  taylthlem2  24173  cxpeq  24543  amgmlem  24761  lgamgulmlem4  24803  lgamcvg2  24826  wilthlem2  24840  wilth  24842  wilthimp  24843  ftalem5  24848  basellem2  24853  basellem3  24854  basellem4  24855  basellem5  24856  muval1  24904  dvdssqf  24909  sgmnncl  24918  efchtdvds  24930  mumullem2  24951  mumul  24952  sqff1o  24953  fsumdvdsdiaglem  24954  dvdsppwf1o  24957  dvdsflf1o  24958  muinv  24964  dvdsmulf1o  24965  chtublem  24981  fsumvma2  24984  vmasum  24986  chpchtsum  24989  logfacubnd  24991  mersenne  24997  perfect1  24998  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  perfect  25001  dchrelbas4  25013  dchrfi  25025  bcmono  25047  bcp1ctr  25049  bclbnd  25050  bposlem1  25054  bposlem3  25056  bposlem5  25058  bposlem6  25059  bposlem9  25062  lgsmod  25093  lgsdir  25102  lgsdilem2  25103  lgsne0  25105  lgsqrlem2  25117  lgsqr  25121  lgsqrmodndvds  25123  gausslemma2dlem0c  25128  gausslemma2dlem0h  25133  gausslemma2dlem0i  25134  gausslemma2dlem2  25137  gausslemma2dlem6  25142  gausslemma2dlem7  25143  gausslemma2d  25144  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgseisenlem4  25148  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  lgsquadlem3  25152  lgsquad2lem1  25154  lgsquad2lem2  25155  lgsquad2  25156  m1lgs  25158  2lgslem2  25165  2sqlem3  25190  2sqlem4  25191  2sqlem8  25196  chebbnd1lem1  25203  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisumlem1  25223  dchrisumlem2  25224  dchrisumlem3  25225  dchrisum0fmul  25240  dchrisum0ff  25241  dchrisum0flblem1  25242  dchrisum0flblem2  25243  dchrisum0flb  25244  dchrisum0  25254  pntrsumbnd2  25301  pntrlog2bndlem1  25311  pntrlog2bndlem6  25317  pntpbnd2  25321  pntlemg  25332  pntlemj  25337  pntlemf  25339  ostth2lem2  25368  ostth2lem3  25369  ostth3  25372  numclwlk2lem2f1o  27359  minvecolem4  27864  iundisj2f  29529  ssnnssfz  29677  iundisj2fi  29684  f1ocnt  29687  numdenneg  29691  ltesubnnd  29696  isarchi3  29869  archiabllem1b  29874  psgnfzto1stlem  29978  smatrcl  29990  1smat1  29998  submateqlem1  30001  submateqlem2  30002  lmatfvlem  30009  qqhval2  30154  qqhf  30158  qqhghm  30160  qqhrhm  30161  qqhnm  30162  qqhre  30192  esumcvg  30276  meascnbl  30410  omssubadd  30490  oddpwdc  30544  ballotlemfp1  30681  ballotlemfc0  30682  ballotlemfcc  30683  ballotlemimin  30695  ballotlemic  30696  ballotlem1c  30697  hgt750lemc  30853  hgt750lemd  30854  hgt750lemb  30862  hgt750leme  30864  subfaclim  31296  cvmliftlem7  31399  sinccvglem  31692  bcprod  31750  bccolsum  31751  faclimlem2  31756  faclim2  31760  poimirlem1  33540  poimirlem2  33541  poimirlem3  33542  poimirlem4  33543  poimirlem6  33545  poimirlem8  33547  poimirlem9  33548  poimirlem10  33549  poimirlem11  33550  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem18  33557  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem21  33560  poimirlem22  33561  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  poimirlem26  33565  poimirlem27  33566  poimirlem28  33567  poimirlem31  33570  mblfinlem2  33577  seqpo  33673  incsequz  33674  incsequz2  33675  irrapxlem3  37705  irrapxlem5  37707  pellexlem5  37714  pellexlem6  37715  pellex  37716  pell1234qrmulcl  37736  jm2.23  37880  jm2.20nn  37881  jm2.26lem3  37885  jm2.27a  37889  jm2.27b  37890  jm2.27c  37891  jm3.1lem1  37901  jm3.1lem3  37903  inductionexd  38770  nznngen  38832  hashnzfz2  38837  fmuldfeq  40133  divcnvg  40177  stoweidlem1  40536  stoweidlem3  40538  stoweidlem11  40546  stoweidlem20  40555  stoweidlem26  40561  stoweidlem34  40569  stoweidlem51  40586  stirlinglem4  40612  stirlinglem5  40613  stirlinglem8  40616  dirkerper  40631  dirkertrigeqlem2  40634  dirkertrigeqlem3  40635  dirkercncflem2  40639  fourierdlem11  40653  fourierdlem14  40656  fourierdlem20  40662  fourierdlem25  40667  fourierdlem37  40679  fourierdlem41  40683  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem54  40695  fourierdlem64  40705  fourierdlem73  40714  fourierdlem79  40720  fourierdlem92  40733  fourierdlem93  40734  fourierdlem111  40752  sqwvfourb  40764  etransclem3  40772  etransclem7  40776  etransclem10  40779  etransclem15  40784  etransclem24  40793  etransclem25  40794  etransclem26  40795  etransclem27  40796  etransclem28  40797  etransclem35  40804  etransclem37  40806  etransclem38  40807  etransclem41  40810  etransclem44  40813  etransclem45  40814  etransclem48  40817  ovnsubaddlem1  41105  vonioolem1  41215  iccpartgtprec  41681  iccpartipre  41682  fmtnoodd  41770  goldbachthlem2  41783  goldbachth  41784  odz2prm2pw  41800  fmtnoprmfac1lem  41801  fmtnoprmfac2lem1  41803  fmtnoprmfac2  41804  fmtnofac2lem  41805  2pwp1prm  41828  lighneallem1  41847  lighneallem4  41852  proththdlem  41855  proththd  41856  divgcdoddALTV  41918  perfectALTVlem1  41955  perfectALTVlem2  41956  perfectALTV  41957  gbowge7  41976  pw2m1lepw2m1  42635  nnolog2flm1  42709  dignn0fr  42720  dignn0flhalflem1  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator