Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olm01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olm01 34841
Description: Meet with lattice zero is zero. (chm0 28478 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
olm0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm0.m = (meet‘𝐾)
olm0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olm01 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 0 )

Proof of Theorem olm01
StepHypRef Expression
1 olm0.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2651 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 ollat 34818 . . 3 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
43adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simpr 476 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
6 olop 34819 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
76adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
8 olm0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
91, 8op0cl 34789 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
107, 9syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
11 olm0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
121, 11latmcl 17099 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) ∈ 𝐵)
134, 5, 10, 12syl3anc 1366 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) ∈ 𝐵)
141, 2, 11latmle2 17124 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 )(le‘𝐾) 0 )
154, 5, 10, 14syl3anc 1366 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 )(le‘𝐾) 0 )
161, 2, 8op0le 34791 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
176, 16sylan 487 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
181, 2latref 17100 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0𝐵) → 0 (le‘𝐾) 0 )
194, 10, 18syl2anc 694 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾) 0 )
201, 2, 11latlem12 17125 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 0𝐵𝑋𝐵0𝐵)) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0 (le‘𝐾) 0 ) ↔ 0 (le‘𝐾)(𝑋 0 )))
214, 10, 5, 10, 20syl13anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0 (le‘𝐾) 0 ) ↔ 0 (le‘𝐾)(𝑋 0 )))
2217, 19, 21mpbi2and 976 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)(𝑋 0 ))
231, 2, 4, 13, 10, 15, 22latasymd 17104 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  meetcmee 16992  0.cp0 17084  Latclat 17092  OPcops 34777  OLcol 34779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-oposet 34781  df-ol 34783
This theorem is referenced by:  olm02  34842  omlfh1N  34863
  Copyright terms: Public domain W3C validator