MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1plusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om1plusg 22880
Description: The group operation (which isn't much more than a magma) of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1bas.o 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
om1bas.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
om1bas.y (𝜑𝑌𝑋)
Assertion
Ref Expression
om1plusg (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (+g𝑂))

Proof of Theorem om1plusg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 om1bas.o . . . 4 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
2 om1bas.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 om1bas.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
4 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
51, 2, 3, 4om1bas 22877 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑂) = {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)})
6 eqidd 2652 . . . 4 (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (*𝑝𝐽))
7 eqidd 2652 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ^ko II) = (𝐽 ^ko II))
81, 5, 6, 7, 2, 3om1val 22876 . . 3 (𝜑𝑂 = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ^ko II)⟩})
98fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (+g𝑂) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ^ko II)⟩}))
10 fvex 6239 . . 3 (*𝑝𝐽) ∈ V
11 eqid 2651 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ^ko II)⟩} = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ^ko II)⟩}
1211topgrpplusg 16091 . . 3 ((*𝑝𝐽) ∈ V → (*𝑝𝐽) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ^ko II)⟩}))
1310, 12ax-mp 5 . 2 (*𝑝𝐽) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ^ko II)⟩})
149, 13syl6reqr 2704 1 (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (+g𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  {ctp 4214  cop 4216  cfv 5926  (class class class)co 6690  ndxcnx 15901  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  TopSetcts 15994  TopOnctopon 20763   ^ko cxko 21412  IIcii 22725  *𝑝cpco 22846   Ω1 comi 22847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-topon 20764  df-om1 22852
This theorem is referenced by:  pi1cpbl  22890  pi1addf  22893  pi1addval  22894  pi1grplem  22895
  Copyright terms: Public domain W3C validator