Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omina Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omina 9457
 Description: ω is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow ω as an inaccessible cardinal, but this choice allows us to reuse our results for inaccessibles for ω.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
omina ω ∈ Inacc

Proof of Theorem omina
StepHypRef Expression
1 peano1 7032 . . 3 ∅ ∈ ω
21ne0ii 3899 . 2 ω ≠ ∅
3 cfom 9030 . 2 (cf‘ω) = ω
4 nnfi 8097 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5 pwfi 8205 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
64, 5sylib 208 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7 isfinite 8493 . . . 4 (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
86, 7sylib 208 . . 3 (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ≺ ω)
98rgen 2917 . 2 𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω
10 elina 9453 . 2 (ω ∈ Inacc ↔ (ω ≠ ∅ ∧ (cf‘ω) = ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω))
112, 3, 9, 10mpbir3an 1242 1 ω ∈ Inacc
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  ωcom 7012   ≺ csdm 7898  Fincfn 7899  cfccf 8707  Inacccina 9449 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cf 8711  df-ina 9451 This theorem is referenced by:  r1omALT  9542  r1omtsk  9545
 Copyright terms: Public domain W3C validator