Theorem oppgid 18484

Description: Zero in a monoid is a symmetric notion. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgid.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgid	⊢ 0 = (0g‘𝑂)

Proof of Theorem oppgid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 463	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
2		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		oppgbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
4		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
5	2, 3, 4	oppgplus 18477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥)
6	5	eqeq1i 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
7	2, 3, 4	oppgplus 18477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦)
8	7	eqeq1i 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
9	6, 8	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
10	1, 9	bitr4i 280	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦))
11	10	ralbii 3165	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦))
12	11	anbi2i 624	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
13	12	iotabii 6340	. 2 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
14		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		oppgid.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	14, 2, 15	grpidval 17871	. 2 ⊢ 0 = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
17	3, 14	oppgbas 18479	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
18		eqid 2821	. . 3 ⊢ (0g‘𝑂) = (0g‘𝑂)
19	17, 4, 18	grpidval 17871	. 2 ⊢ (0g‘𝑂) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
20	13, 16, 19	3eqtr4i 2854	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ℩cio 6312  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  0_gc0g 16713  opp_gcoppg 18473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-oppg 18474

This theorem is referenced by:  oppggrp  18485  oppginv  18487  oppgsubm  18490  gsumwrev  18494  lsmdisj2r  18811  gsumzoppg  19064  tgpconncomp  22721