MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwrev 17842
Description: A sum in an opposite monoid is the regular sum of a reversed word. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwrev.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumwrev.o 𝑂 = (oppg𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsumwrev ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))

Proof of Theorem gsumwrev
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg ∅))
2 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = (reverse‘∅))
3 rev0 13559 . . . . . . 7 (reverse‘∅) = ∅
42, 3syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (reverse‘𝑥) = ∅)
54oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
61, 5eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)))
76imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))))
8 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑦))
9 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑦))
109oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))
118, 10eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
13 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (reverse‘𝑥) = (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1514oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
1613, 15eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
1716imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
18 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑂 Σg 𝑊))
19 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑊 → (reverse‘𝑥) = (reverse‘𝑊))
2019oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
2118, 20eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥)) ↔ (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
2221imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑥) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))))
23 gsumwrev.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppg𝑀)
24 eqid 2651 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2523, 24oppgid 17832 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑂)
2625gsum0 17325 . . . . 5 (𝑂 Σg ∅) = (0g𝑀)
2724gsum0 17325 . . . . 5 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
2826, 27eqtr4i 2676 . . . 4 (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅)
2928a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg ∅) = (𝑀 Σg ∅))
30 oveq2 6698 . . . . . 6 ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
3123oppgmnd 17830 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑂 ∈ Mnd)
33 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ Word 𝐵)
34 simprr 811 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
3534s1cld 13419 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵)
36 gsumwrev.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑀)
3723, 36oppgbas 17827 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑂)
38 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (+g𝑂) = (+g𝑂)
3937, 38gsumccat 17425 . . . . . . . . 9 ((𝑂 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
4032, 33, 35, 39syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)))
4137gsumws1 17423 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
4241ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
4342oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)𝑧))
44 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4544, 23, 38oppgplus 17825 . . . . . . . . 9 ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)𝑧) = (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦))
4643, 45syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦)(+g𝑂)(𝑂 Σg ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
4740, 46eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)))
48 revccat 13561 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
4933, 35, 48syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)))
50 revs1 13560 . . . . . . . . . . 11 (reverse‘⟨“𝑧”⟩) = ⟨“𝑧”⟩
5150oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 ((reverse‘⟨“𝑧”⟩) ++ (reverse‘𝑦)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))
5249, 51syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦)))
5352oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))))
54 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → 𝑀 ∈ Mnd)
55 revcl 13556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
5655ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵)
5736, 44gsumccat 17425 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ (reverse‘𝑦) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
5854, 35, 56, 57syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg (⟨“𝑧”⟩ ++ (reverse‘𝑦))) = ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
5936gsumws1 17423 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
6059ad2antll 765 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩) = 𝑧)
6160oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑀 Σg ⟨“𝑧”⟩)(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
6253, 58, 613eqtrd 2689 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦))))
6347, 62eqeq12d 2666 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) ↔ (𝑧(+g𝑀)(𝑂 Σg 𝑦)) = (𝑧(+g𝑀)(𝑀 Σg (reverse‘𝑦)))))
6430, 63syl5ibr 236 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))))
6564expcom 450 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦)) → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
6665a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑦) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑦))) → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = (𝑀 Σg (reverse‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))))
677, 12, 17, 22, 29, 66wrdind 13522 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (𝑀 ∈ Mnd → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊))))
6867impcom 445 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝑂 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg (reverse‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  Word cword 13323   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  reversecreverse 13329  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  oppgcoppg 17821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-reverse 13337  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-oppg 17822
This theorem is referenced by:  symgtrinv  17938
  Copyright terms: Public domain W3C validator