Theorem pfxccatin12lem2a 14084

Description: Lemma for pfxccatin12lem2 14088. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2a	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))

Proof of Theorem pfxccatin12lem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 12896	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)))
2		zsubcl 12018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1125	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	3	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7		elfzonelfzo 13136	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
9		elfzoelz 13035	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		elfzelz 12905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
12		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	11, 12	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	14, 15	anim12ci 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
17	13, 16	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
18	17	exp32 423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
19	10, 18	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
20	19	3adant1 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
21	20	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
22	1, 21	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
23	22	imp 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))))
24	23	impcom 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
25		elfzomelpfzo 13138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁)))
27		elfz2 12896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)))
28		simpl3 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		simpl2 1187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℤ)
30		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋) → 𝑁 ≤ 𝑋)
31	30	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → 𝑁 ≤ 𝑋)
32	28, 29, 31	3jca 1123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
33	27, 32	sylbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
34	33	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
35	34	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
36		eluz2 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
37	35, 36	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
38		fzoss2 13062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐿..^𝑁) ⊆ (𝐿..^𝑋))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐿..^𝑁) ⊆ (𝐿..^𝑋))
40	39	sseld 3959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
41	26, 40	sylbid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
42	41	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋))))
43	42	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋))))
44	9, 43	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
45	44	com12 32	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
46	8, 45	syld 47	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3929   class class class wbr 5059  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  0cc0 10530   + caddc 10533   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12889  ..^cfzo 13030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12890  df-fzo 13031

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  14088