MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lss 19485
Description: Univariate polynomials form a linear subspace of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1val.2 𝑆 = (PwSer1𝑅)
ply1bas.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1lss (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Proof of Theorem ply1lss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (1𝑜 mPwSer 𝑅) = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2621 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
3 ply1val.1 . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 ply1val.2 . . . 4 𝑆 = (PwSer1𝑅)
5 ply1bas.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
63, 4, 5ply1bas 19484 . . 3 𝑈 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
7 1on 7512 . . . 4 1𝑜 ∈ On
87a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1𝑜 ∈ On)
9 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 6, 8, 9mpllss 19357 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
11 eqidd 2622 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
124psr1val 19475 . . . 4 𝑆 = ((1𝑜 ordPwSer 𝑅)‘∅)
13 0ss 3944 . . . . 5 ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜)
1413a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜))
151, 12, 14opsrbas 19398 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
16 ssv 3604 . . . 4 (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) ⊆ V
1716a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) ⊆ V)
181, 12, 14opsrplusg 19399 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑆))
1918oveqdr 6628 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
20 ovex 6632 . . . 4 (𝑥( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) ∈ V
2120a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) ∈ V)
221, 12, 14opsrvsca 19401 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑆))
2322oveqdr 6628 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦))
241, 8, 9psrsca 19308 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
2524fveq2d 6152 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))))
261, 12, 14, 8, 9opsrsca 19402 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
2726fveq2d 6152 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
2811, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27lsspropd 18936 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (LSubSp‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘𝑆))
2910, 28eleqtrd 2700 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891   × cxp 5072  Oncon0 5682  cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  Ringcrg 18468  LSubSpclss 18851   mPwSer cmps 19270   mPoly cmpl 19272  PwSer1cps1 19464  Poly1cpl1 19466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-tset 15881  df-ple 15882  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-mgp 18411  df-ring 18470  df-lss 18852  df-psr 19275  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-psr1 19469  df-ply1 19471
This theorem is referenced by:  ply1assa  19488  ply1lmod  19541
  Copyright terms: Public domain W3C validator