MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1bas 19484
Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1val.2 𝑆 = (PwSer1𝑅)
ply1bas.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1bas 𝑈 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas
StepHypRef Expression
1 ply1bas.u . 2 𝑈 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2621 . . . 4 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
3 eqid 2621 . . . 4 (1𝑜 mPwSer 𝑅) = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
4 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
5 ply1val.2 . . . . 5 𝑆 = (PwSer1𝑅)
6 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
75, 6, 3psr1bas2 19479 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))
82, 3, 4, 7mplbasss 19351 . . 3 (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆)
9 ply1val.1 . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
109, 5ply1val 19483 . . . 4 𝑃 = (𝑆s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
1110, 6ressbas2 15852 . . 3 ((Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆) → (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
128, 11ax-mp 5 . 2 (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
131, 12eqtr4i 2646 1 𝑈 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wss 3555  cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  Basecbs 15781   mPwSer cmps 19270   mPoly cmpl 19272  PwSer1cps1 19464  Poly1cpl1 19466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-dec 11438  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-ple 15882  df-psr 19275  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-psr1 19469  df-ply1 19471
This theorem is referenced by:  ply1lss  19485  ply1subrg  19486  ply1crng  19487  ply1assa  19488  ply1basf  19491  ply1bascl2  19493  vr1cl  19506  ressply1bas2  19517  ressply1add  19519  ressply1mul  19520  ressply1vsca  19521  subrgply1  19522  ply1baspropd  19532  ply1ring  19537  ply1lmod  19541  ply1mpl0  19544  ply1mpl1  19546  subrg1asclcl  19549  subrgvr1cl  19551  coe1add  19553  coe1tm  19562  ply1coe  19585  evls1rhm  19606  evls1sca  19607  evl1rhm  19615  evl1sca  19617  evl1var  19619  evls1var  19621  mpfpf1  19634  pf1mpf  19635  deg1xrf  23745  deg1cl  23747  deg1nn0cl  23752  deg1ldg  23756  deg1leb  23759  deg1val  23760  deg1vscale  23768  deg1vsca  23769  deg1mulle2  23773  deg1le0  23775
  Copyright terms: Public domain W3C validator