MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrsca 19611
Description: The scalar field of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrsca.i (𝜑𝐼𝑉)
psrsca.r (𝜑𝑅𝑊)
Assertion
Ref Expression
psrsca (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑆))

Proof of Theorem psrsca
Dummy variables 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrsca.r . . 3 (𝜑𝑅𝑊)
2 psrvalstr 19585 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
3 scaid 16236 . . . 4 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4 snsstp1 4492 . . . . 5 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}
5 ssun2 3920 . . . . 5 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
64, 5sstri 3753 . . . 4 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
72, 3, 6strfv 16129 . . 3 (𝑅𝑊𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
81, 7syl 17 . 2 (𝜑𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
9 psrsca.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
12 eqid 2760 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
13 eqid 2760 . . . 4 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
14 eqid 2760 . . . 4 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
15 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
16 psrsca.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
179, 10, 14, 15, 16psrbas 19600 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
18 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
199, 15, 11, 18psrplusg 19603 . . . 4 (+g𝑆) = ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((Base‘𝑆) × (Base‘𝑆)))
20 eqid 2760 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
219, 15, 12, 20, 14psrmulr 19606 . . . 4 (.r𝑆) = (𝑓 ∈ (Base‘𝑆), 𝑧 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (𝑤 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑤} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑧‘(𝑤𝑓𝑥)))))))
22 eqid 2760 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))
23 eqidd 2761 . . . 4 (𝜑 → (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)})))
249, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 16, 1psrval 19584 . . 3 (𝜑𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
2524fveq2d 6357 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
268, 25eqtr4d 2797 1 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  cun 3713  {csn 4321  {ctp 4325  cop 4327   × cxp 5264  ccnv 5265  cima 5269  cfv 6049  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  𝑓 cof 7061  𝑚 cmap 8025  Fincfn 8123  1c1 10149  cn 11232  9c9 11289  0cn0 11504  ndxcnx 16076  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  TopSetcts 16169  TopOpenctopn 16304  tcpt 16321   mPwSer cmps 19573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-tset 16182  df-psr 19578
This theorem is referenced by:  psrlmod  19623  psrassa  19636  mpllsslem  19657  mplsca  19667  opsrsca  19705  opsrassa  19711  ply1lss  19788  opsrlmod  19838
  Copyright terms: Public domain W3C validator