Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnfix1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfix1 19884
 Description: A permutation of a finite set fixing one element is generated by transpositions not involving the fixed element. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfix.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
psgnfix.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
psgnfix.s 𝑆 = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
Assertion
Ref Expression
psgnfix1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = (𝑆 Σg 𝑤)))
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑃,𝑞   𝑤,𝑄   𝑤,𝑆   𝑤,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑤)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem psgnfix1
StepHypRef Expression
1 psgnfix.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 eqid 2621 . . . . 5 {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
3 psgnfix.s . . . . . 6 𝑆 = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
43fveq2i 6161 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
5 eqid 2621 . . . . 5 (𝑁 ∖ {𝐾}) = (𝑁 ∖ {𝐾})
61, 2, 4, 5symgfixelsi 17795 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑄 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) → (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘𝑆))
76adantll 749 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) → (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘𝑆))
8 diffi 8152 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
98ad2antrr 761 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
10 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11 psgnfix.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
123, 10, 11psgnfitr 17877 . . . 4 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin → ((𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘𝑆) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = (𝑆 Σg 𝑤)))
139, 12syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) → ((𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘𝑆) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = (𝑆 Σg 𝑤)))
147, 13mpbid 222 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = (𝑆 Σg 𝑤))
1514ex 450 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾} → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = (𝑆 Σg 𝑤)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2909  {crab 2912   ∖ cdif 3557  {csn 4155  ran crn 5085   ↾ cres 5086  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  Word cword 13246  Basecbs 15800   Σg cgsu 16041  SymGrpcsymg 17737  pmTrspcpmtr 17801 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-word 13254  df-concat 13256  df-s1 13257  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-tset 15900  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-subg 17531  df-symg 17738  df-pmtr 17802 This theorem is referenced by:  psgndif  19888
 Copyright terms: Public domain W3C validator