Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnvalii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnvalii 17845
 Description: Any representation of a permutation is length matching the permutation sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnvalii ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (-1↑(#‘𝑊)))

Proof of Theorem psgnvalii
Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnval.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgnval.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
3 psgnval.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
41, 2, 3psgneldm2i 17841 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁)
51, 2, 3psgnval 17843 . . 3 ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁 → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)))))
64, 5syl 17 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)))))
7 simpr 477 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
8 eqidd 2627 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊))
9 eqidd 2627 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑊)))
10 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑊))
1110eqeq2d 2636 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ↔ (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊)))
12 fveq2 6150 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (#‘𝑤) = (#‘𝑊))
1312oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (-1↑(#‘𝑤)) = (-1↑(#‘𝑊)))
1413eqeq2d 2636 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → ((-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑤)) ↔ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑊))))
1511, 14anbi12d 746 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑤))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊) ∧ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑊)))))
1615rspcev 3300 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊) ∧ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑊)))) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑤))))
177, 8, 9, 16syl12anc 1321 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑤))))
18 ovex 6633 . . . . 5 (-1↑(#‘𝑊)) ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (-1↑(#‘𝑊)) ∈ V)
201, 2, 3psgneu 17842 . . . . 5 ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁 → ∃!𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤))))
214, 20syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → ∃!𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤))))
22 eqeq1 2630 . . . . . . 7 (𝑠 = (-1↑(#‘𝑊)) → (𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)) ↔ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑤))))
2322anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑠 = (-1↑(#‘𝑊)) → (((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑤)))))
2423rexbidv 3050 . . . . 5 (𝑠 = (-1↑(#‘𝑊)) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑤)))))
2524adantl 482 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑊))) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑤)))))
2619, 21, 25iota2d 5838 . . 3 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑤))) ↔ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)))) = (-1↑(#‘𝑊))))
2717, 26mpbid 222 . 2 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇((𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)))) = (-1↑(#‘𝑊)))
286, 27eqtrd 2660 1 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg 𝑊)) = (-1↑(#‘𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∃!weu 2474  ∃wrex 2913  Vcvv 3191  dom cdm 5079  ran crn 5080  ℩cio 5811  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882  -cneg 10212  ↑cexp 12797  #chash 13054  Word cword 13225   Σg cgsu 16017  SymGrpcsymg 17713  pmTrspcpmtr 17777  pmSgncpsgn 17825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-word 13233  df-lsw 13234  df-concat 13235  df-s1 13236  df-substr 13237  df-splice 13238  df-reverse 13239  df-s2 13525  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-tset 15876  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-gim 17617  df-oppg 17692  df-symg 17714  df-pmtr 17778  df-psgn 17827 This theorem is referenced by:  psgnpmtr  17846  psgn0fv0  17847  psgnsn  17856  psgnprfval1  17858  psgnghm  19840
 Copyright terms: Public domain W3C validator