MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptrescn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptrescn 21355
Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrescn.1 𝑋 = 𝐽
ptrescn.2 𝐽 = (∏t𝐹)
ptrescn.3 𝐾 = (∏t‘(𝐹𝐵))
Assertion
Ref Expression
ptrescn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem ptrescn
Dummy variables 𝑢 𝑘 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1064 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵𝐴)
2 ptrescn.2 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (∏t𝐹)
32ptuni 21310 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
433adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
5 ptrescn.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
64, 5syl6eqr 2673 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝑋)
76eleq2d 2684 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ 𝑥𝑋))
87biimpar 502 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
9 resixp 7890 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐵) ∈ X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
101, 8, 9syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
11 ixpeq2 7869 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
12 fvres 6166 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1312unieqd 4414 . . . . . . 7 (𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1411, 13mprg 2921 . . . . . 6 X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = X𝑘𝐵 (𝐹𝑘)
15 ssexg 4766 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
1615ancoms 469 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
17163adant2 1078 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
18 fssres 6029 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶Top)
19183adant1 1077 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶Top)
20 ptrescn.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (∏t‘(𝐹𝐵))
2120ptuni 21310 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = 𝐾)
2217, 19, 21syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = 𝐾)
2314, 22syl5eqr 2669 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐵 (𝐹𝑘) = 𝐾)
2423adantr 481 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → X𝑘𝐵 (𝐹𝑘) = 𝐾)
2510, 24eleqtrd 2700 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ 𝐾)
26 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))
2725, 26fmptd 6343 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾)
28 fimacnv 6305 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾 → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) = 𝑋)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) = 𝑋)
30 pttop 21298 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t𝐹) ∈ Top)
312, 30syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐽 ∈ Top)
32313adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
335topopn 20633 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝑋𝐽)
3529, 34eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) ∈ 𝐽)
36 elsni 4167 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ { 𝐾} → 𝑣 = 𝐾)
3736imaeq2d 5427 . . . . . 6 (𝑣 ∈ { 𝐾} → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾))
3837eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑣 ∈ { 𝐾} → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) ∈ 𝐽))
3935, 38syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑣 ∈ { 𝐾} → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
4039ralrimiv 2959 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ { 𝐾} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
41 imaco 5601 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) “ 𝑢) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))
42 cnvco 5270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)))
4325adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ 𝐾)
44 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)))
45 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) = (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)))
46 fveq1 6149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧𝑘) = ((𝑥𝐵)‘𝑘))
4743, 44, 45, 46fmptco 6354 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐵)‘𝑘)))
48 fvres 6166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐵 → ((𝑥𝐵)‘𝑘) = (𝑥𝑘))
4948ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝐵)‘𝑘) = (𝑥𝑘))
5049mpteq2dv 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐵)‘𝑘)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5147, 50eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5251cnveqd 5260 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5342, 52syl5eqr 2669 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5453imaeq1d 5426 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) “ 𝑢) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢))
5541, 54syl5eqr 2669 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢))
56 simpl1 1062 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐴𝑉)
57 simpl2 1063 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
58 simpl3 1064 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐵𝐴)
59 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑘𝐵)
6058, 59sseldd 3585 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑘𝐴)
615, 2ptpjcn 21327 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)))
6256, 57, 60, 61syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)))
63 simprr 795 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑢 ∈ (𝐹𝑘))
64 cnima 20982 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
6562, 63, 64syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
6655, 65eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ 𝐽)
67 imaeq2 5423 . . . . . . . 8 (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
6867eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ 𝐽))
6966, 68syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
7069rexlimdvva 3031 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
7170alrimiv 1852 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
72 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))
7372rnmpt2 6726 . . . . . 6 ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)}
7473raleqi 3131 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
7512rexeqdv 3134 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → (∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
76 eqeq1 2625 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ 𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7776rexbidv 3045 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7875, 77sylan9bbr 736 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑣𝑘𝐵) → (∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7978rexbidva 3042 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
8079ralab 3350 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8174, 80bitri 264 . . . 4 (∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8271, 81sylibr 224 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
83 ralunb 3774 . . 3 (∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ (∀𝑣 ∈ { 𝐾} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8440, 82, 83sylanbrc 697 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
855toptopon 20647 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8632, 85sylib 208 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
87 snex 4871 . . . 4 { 𝐾} ∈ V
88 fvex 6160 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ V
8988abrexex 7090 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V
9089rgenw 2919 . . . . . 6 𝑘𝐵 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V
91 abrexex2g 7093 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑘𝐵 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V) → {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V)
9217, 90, 91sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V)
9373, 92syl5eqel 2702 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ V)
94 unexg 6915 . . . 4 (({ 𝐾} ∈ V ∧ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ V) → ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))) ∈ V)
9587, 93, 94sylancr 694 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))) ∈ V)
96 eqid 2621 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
9720, 96, 72ptval2 21317 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → 𝐾 = (topGen‘(fi‘({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))))))
9817, 19, 97syl2anc 692 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 = (topGen‘(fi‘({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))))))
99 pttop 21298 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → (∏t‘(𝐹𝐵)) ∈ Top)
10017, 19, 99syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (∏t‘(𝐹𝐵)) ∈ Top)
10120, 100syl5eqel 2702 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 ∈ Top)
10296toptopon 20647 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
103101, 102sylib 208 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
10486, 95, 98, 103subbascn 20971 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)))
10527, 84, 104mpbir2and 956 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cun 3554  wss 3556  {csn 4150   cuni 4404  cmpt 4675  ccnv 5075  ran crn 5077  cres 5078  cima 5079  ccom 5080  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  cmpt2 6609  Xcixp 7855  ficfi 8263  topGenctg 16022  tcpt 16023  Topctop 20620  TopOnctopon 20637   Cn ccn 20941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-fin 7906  df-fi 8264  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-top 20621  df-topon 20638  df-bases 20664  df-cn 20944
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  21524  tmdgsum  21812
  Copyright terms: Public domain W3C validator