Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringcid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcid 41313
 Description: The identity arrow in the category of unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringccat.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcid.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcid.o 1 = (Id‘𝐶)
ringcid.u (𝜑𝑈𝑉)
ringcid.x (𝜑𝑋𝐵)
ringcid.s 𝑆 = (Base‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
ringcid (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem ringcid
StepHypRef Expression
1 ringcid.o . . . 4 1 = (Id‘𝐶)
2 ringccat.c . . . . . 6 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3 ringcid.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
4 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
5 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
62, 3, 4, 5ringcval 41296 . . . . 5 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
76fveq2d 6152 . . . 4 (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))))
81, 7syl5eq 2667 . . 3 (𝜑1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))))
98fveq1d 6150 . 2 (𝜑 → ( 1𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))‘𝑋))
10 eqid 2621 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
11 eqid 2621 . . . 4 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12 incom 3783 . . . . 5 (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
1411, 3, 13, 5rhmsubcsetc 41311 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
154, 5rhmresfn 41297 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) Fn ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))
16 eqid 2621 . . 3 (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17 ringcid.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
18 ringcid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
192, 18, 3ringcbas 41299 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
2019eleq2d 2684 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
2117, 20mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
2210, 14, 15, 16, 21subcid 16428 . 2 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))‘𝑋))
23 elinel1 3777 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋𝑈)
2420, 23syl6bi 243 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋𝑈))
2517, 24mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
2611, 16, 3, 25estrcid 16695 . . 3 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27 ringcid.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝑋)
2827eqcomi 2630 . . . . 5 (Base‘𝑋) = 𝑆
2928a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
3029reseq2d 5356 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
3126, 30eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
329, 22, 313eqtr2d 2661 1 (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3554   I cid 4984   × cxp 5072   ↾ cres 5076  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Idccid 16247   ↾cat cresc 16389  ExtStrCatcestrc 16683  Ringcrg 18468   RingHom crh 18633  RingCatcringc 41291 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-cat 16250  df-cid 16251  df-homf 16252  df-ssc 16391  df-resc 16392  df-subc 16393  df-estrc 16684  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-ghm 17579  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-rnghom 18636  df-ringc 41293 This theorem is referenced by:  ringcsect  41319  funcringcsetcALTV2lem7  41330  srhmsubc  41364
 Copyright terms: Public domain W3C validator