Theorem rpexp12i 15628

Description: Relative primality passes to symmetric powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexp12i	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = 1))

Proof of Theorem rpexp12i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpexp1i 15627	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
2	1	3adant3r 1193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
3		simp2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simp1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		simp3l 1241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6		zexpcl 13061	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ)
8		simp3r 1242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		rpexp1i 15627	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵 gcd (𝐴↑𝑀)) = 1 → ((𝐵↑𝑁) gcd (𝐴↑𝑀)) = 1))
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐵 gcd (𝐴↑𝑀)) = 1 → ((𝐵↑𝑁) gcd (𝐴↑𝑀)) = 1))
11		gcdcom 15429	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = (𝐵 gcd (𝐴↑𝑀)))
12	7, 3, 11	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = (𝐵 gcd (𝐴↑𝑀)))
13	12	eqeq1d 2754	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd (𝐴↑𝑀)) = 1))
14		zexpcl 13061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
15	3, 8, 14	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
16		gcdcom 15429	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = ((𝐵↑𝑁) gcd (𝐴↑𝑀)))
17	7, 15, 16	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = ((𝐵↑𝑁) gcd (𝐴↑𝑀)))
18	17	eqeq1d 2754	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑁) gcd (𝐴↑𝑀)) = 1))
19	10, 13, 18	3imtr4d 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = 1))
20	2, 19	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  (class class class)co 6805  1c1 10121  ℕ₀cn0 11476  ℤcz 11561  ↑cexp 13046   gcd cgcd 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-dvds 15175  df-gcd 15411  df-prm 15580

This theorem is referenced by:  ablfac1b  18661  jm2.20nn  38058