MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdcom 15022
Description: The gcd operator is commutative. Theorem 1.4(a) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdcom ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcom
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 464 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0))
2 ancom 464 . . . . . 6 ((𝑛𝑀𝑛𝑁) ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀))
32a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛𝑀𝑛𝑁) ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀)))
43rabbiia 3160 . . . 4 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}
54supeq1i 8214 . . 3 sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < )
61, 5ifbieq2i 4059 . 2 if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < ))
7 gcdval 15005 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
8 gcdval 15005 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < )))
98ancoms 467 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < )))
106, 7, 93eqtr4a 2669 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899  ifcif 4035   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  supcsup 8207  cr 9792  0cc0 9793   < clt 9931  cz 11213  cdvds 14770   gcd cgcd 15003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-mulcl 9855  ax-i2m1 9861  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936  df-gcd 15004
This theorem is referenced by:  divgcdnnr  15024  gcdid0  15028  neggcd  15031  gcdabs2  15039  modgcd  15040  1gcd  15041  6gcd4e2  15042  rplpwr  15063  rppwr  15064  eucalginv  15084  3lcm2e6woprm  15115  coprmdvds  15153  qredeq  15158  coprmprod  15162  divgcdcoprmex  15167  cncongr1  15168  rpexp12i  15221  cncongrprm  15224  phiprmpw  15268  eulerthlem1  15273  eulerthlem2  15274  fermltl  15276  prmdiv  15277  vfermltl  15293  coprimeprodsq  15300  coprimeprodsq2  15301  pythagtriplem3  15310  pythagtrip  15326  pcgcd  15369  prmpwdvds  15395  pockthlem  15396  prmgaplem7  15548  gcdi  15564  gcdmodi  15565  1259lem5  15629  2503lem3  15633  4001lem4  15638  odinv  17750  gexexlem  18027  ablfacrp2  18238  pgpfac1lem2  18246  dvdsmulf1o  24665  perfect1  24698  perfectlem1  24699  lgslem1  24767  lgsprme0  24809  lgsdirnn0  24814  lgsqrlem2  24817  lgsqr  24821  gausslemma2dlem0c  24828  lgsquad2lem2  24855  lgsquad2  24856  lgsquad3  24857  2sqlem8  24896  ex-gcd  26500  2sqmod  28813  gcd32  30724  nn0prpwlem  31321  jm2.19lem2  36399  jm2.20nn  36406  goldbachthlem2  39821  goldbachth  39822  perfectALTVlem1  39989
  Copyright terms: Public domain W3C validator