Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrexthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrexthaus 29825
Description: The topology of an extension of is Hausdorff. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
rrexthaus.1 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
rrexthaus (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 ∈ Haus)

Proof of Theorem rrexthaus
StepHypRef Expression
1 rrextnrg 29819 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
2 nrgngp 22371 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3 ngpxms 22310 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5 rrexthaus.1 . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
6 eqid 2626 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2626 . . . 4 ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
85, 6, 7xmstopn 22161 . . 3 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
94, 8syl 17 . 2 (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
106, 7xmsxmet 22166 . . 3 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
11 eqid 2626 . . . 4 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
1211methaus 22230 . . 3 (((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)) → (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) ∈ Haus)
134, 10, 123syl 18 . 2 (𝑅 ∈ ℝExt → (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) ∈ Haus)
149, 13eqeltrd 2704 1 (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992   × cxp 5077  cres 5081  cfv 5850  Basecbs 15776  distcds 15866  TopOpenctopn 15998  ∞Metcxmt 19645  MetOpencmopn 19650  Hauscha 21017  ∞MetSpcxme 22027  NrmGrpcngp 22287  NrmRingcnrg 22289   ℝExt crrext 29812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12121  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-haus 21024  df-xms 22030  df-ms 22031  df-ngp 22293  df-nrg 22295  df-rrext 29817
This theorem is referenced by:  rrhqima  29832
  Copyright terms: Public domain W3C validator