MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rspcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rspcl 19203
Description: The span of a set of ring elements is an ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspcl.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
rspcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rspcl
StepHypRef Expression
1 rlmlmod 19186 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2 rspcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rlmbas 19176 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
42, 3eqtri 2642 . . 3 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5 rspcl.u . . . 4 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
6 lidlval 19173 . . . 4 (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
75, 6eqtri 2642 . . 3 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
8 rspcl.k . . . 4 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
9 rspval 19174 . . . 4 (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
108, 9eqtri 2642 . . 3 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
114, 7, 10lspcl 18957 . 2 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑈)
121, 11sylan 488 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wss 3567  cfv 5876  Basecbs 15838  Ringcrg 18528  LModclmod 18844  LSubSpclss 18913  LSpanclspn 18952  ringLModcrglmod 19150  LIdealclidl 19151  RSpancrsp 19152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-lidl 19155  df-rsp 19156
This theorem is referenced by:  rsp1  19205  lpiss  19231  znlidl  19862  zndvds  19879  hbtlem6  37518  hbt  37519
  Copyright terms: Public domain W3C validator